Mathématiques de base Exemples

$18 = \frac{1}{12^{n^{2} + 200}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{12^{n^{2} + 200}} = 18$ .

$\frac{1}{12^{n^{2} + 200}} = 18$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $12^{n^{2} + 200}$ .

$\frac{1}{12^{n^{2} + 200}} \cdot 12^{n^{2} + 200} = 18 \cdot 12^{n^{2} + 200}$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $12^{n^{2} + 200}$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{12^{n^{2} + 200}} \cdot 12^{n^{2} + 200} = 18 \cdot 12^{n^{2} + 200}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 18 \cdot 12^{n^{2} + 200}$

Étape 4

Résolvez $n$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $18 \cdot 12^{n^{2} + 200} = 1$ .

$18 \cdot 12^{n^{2} + 200} = 1$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $18 \cdot 12^{n^{2} + 200} = 1$ par $18$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $18 \cdot 12^{n^{2} + 200} = 1$ par $18$ .

$\frac{18 \cdot 12^{n^{2} + 200}}{18} = \frac{1}{18}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $18$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{18 \cdot 12^{n^{2} + 200}}{18} = \frac{1}{18}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $12^{n^{2} + 200}$ par $1$ .

$12^{n^{2} + 200} = \frac{1}{18}$

Étape 4.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (12^{n^{2} + 200}) = \ln (\frac{1}{18})$

Étape 4.4

Développez $\ln (12^{n^{2} + 200})$ en déplaçant $n^{2} + 200$ hors du logarithme.

$(n^{2} + 200) \ln (12) = \ln (\frac{1}{18})$

Étape 4.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$n^{2} \ln (12) + 200 \ln (12) = \ln (\frac{1}{18})$

Étape 4.6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$n^{2} \ln (12) + 200 \ln (12) - \ln (\frac{1}{18}) = 0$

Étape 4.7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $n$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.7.1

Soustrayez $200 \ln (12)$ des deux côtés de l’équation.

$n^{2} \ln (12) - \ln (\frac{1}{18}) = - 200 \ln (12)$

Étape 4.7.2

Ajoutez $\ln (\frac{1}{18})$ aux deux côtés de l’équation.

$n^{2} \ln (12) = - 200 \ln (12) + \ln (\frac{1}{18})$

Étape 4.8

Divisez chaque terme dans $n^{2} \ln (12) = - 200 \ln (12) + \ln (\frac{1}{18})$ par $\ln (12)$ et simplifiez.

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Étape 4.8.1

Divisez chaque terme dans $n^{2} \ln (12) = - 200 \ln (12) + \ln (\frac{1}{18})$ par $\ln (12)$ .

$\frac{n^{2} \ln (12)}{\ln (12)} = \frac{- 200 \ln (12)}{\ln (12)} + \frac{\ln (\frac{1}{18})}{\ln (12)}$

Étape 4.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.8.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (12)$ .

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Étape 4.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{n^{2} \ln (12)}{\ln (12)} = \frac{- 200 \ln (12)}{\ln (12)} + \frac{\ln (\frac{1}{18})}{\ln (12)}$

Étape 4.8.2.1.2

Divisez $n^{2}$ par $1$ .

$n^{2} = \frac{- 200 \ln (12)}{\ln (12)} + \frac{\ln (\frac{1}{18})}{\ln (12)}$

Étape 4.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.8.3.1

Annulez le facteur commun de $\ln (12)$ .

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Étape 4.8.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$n^{2} = \frac{- 200 \ln (12)}{\ln (12)} + \frac{\ln (\frac{1}{18})}{\ln (12)}$

Étape 4.8.3.1.2

Divisez $- 200$ par $1$ .

$n^{2} = - 200 + \frac{\ln (\frac{1}{18})}{\ln (12)}$

Étape 4.9

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$n = \pm \sqrt{- 200 + \frac{\ln (\frac{1}{18})}{\ln (12)}}$

Étape 4.10

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.10.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$n = \sqrt{- 200 + \frac{\ln (\frac{1}{18})}{\ln (12)}}$

Étape 4.10.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$n = - \sqrt{- 200 + \frac{\ln (\frac{1}{18})}{\ln (12)}}$

Étape 4.10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$n = \sqrt{- 200 + \frac{\ln (\frac{1}{18})}{\ln (12)}}, - \sqrt{- 200 + \frac{\ln (\frac{1}{18})}{\ln (12)}}$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $18 = \frac{1}{12^{n^{2} + 200}}$ vrai.

$Aucune solution$