Algèbre Exemples

$\frac{3}{4 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{x + 1}{4 x^{2} - 1}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{3}{{(2 x)}^{2} + 4 x + 1} + \frac{x + 1}{4 x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{3}{{(2 x)}^{2} + 4 x + 1^{2}} + \frac{x + 1}{4 x^{2} - 1}$

Étape 1.1.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

Étape 1.1.4

Réécrivez le polynôme.

$\frac{3}{{(2 x)}^{2} + 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{x + 1}{4 x^{2} - 1}$

Étape 1.1.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 2 x$ et $b = 1$ .

$\frac{3}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{x + 1}{4 x^{2} - 1}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{3}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{x + 1}{{(2 x)}^{2} - 1}$

Étape 1.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{3}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{x + 1}{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}$

Étape 1.2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 1$ .

$\frac{3}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{x + 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{3}{{(2 x + 1)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{3}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{x + 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{x + 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{3}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{x + 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 x - 1) {(2 x + 1)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{3}{{(2 x + 1)}^{2}}$ par $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{3 (2 x - 1)}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)} + \frac{x + 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x + 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$ par $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{3 (2 x - 1)}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)} + \frac{(x + 1) (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1) (2 x + 1)}$

Étape 4.3

Élevez $2 x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (2 x - 1)}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)} + \frac{(x + 1) (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{1} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 4.4

Élevez $2 x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (2 x - 1)}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)} + \frac{(x + 1) (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{1} {(2 x + 1)}^{1} (2 x - 1)}$

Étape 4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (2 x - 1)}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)} + \frac{(x + 1) (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{1 + 1} (2 x - 1)}$

Étape 4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 (2 x - 1)}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)} + \frac{(x + 1) (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (2 x - 1) + (x + 1) (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot - 1 + (x + 1) (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 x + 3 \cdot - 1 + (x + 1) (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Étape 6.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{6 x - 3 + (x + 1) (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Étape 6.4

Développez $(x + 1) (2 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x - 3 + x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Étape 6.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x - 3 + x (2 x) + x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Étape 6.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x - 3 + x (2 x) + x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Étape 6.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 x - 3 + 2 x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Étape 6.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{6 x - 3 + 2 (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Étape 6.5.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{6 x - 3 + 2 x^{2} + x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Étape 6.5.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{6 x - 3 + 2 x^{2} + x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Étape 6.5.1.4

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$\frac{6 x - 3 + 2 x^{2} + x + 2 x + 1 \cdot 1}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Étape 6.5.1.5

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{6 x - 3 + 2 x^{2} + x + 2 x + 1}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Étape 6.5.2

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$\frac{6 x - 3 + 2 x^{2} + 3 x + 1}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Étape 6.6

Additionnez $6 x$ et $3 x$ .

$\frac{9 x - 3 + 2 x^{2} + 1}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Étape 6.7

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$\frac{9 x + 2 x^{2} - 2}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Étape 6.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 x^{2} + 9 x - 2}{{(2 x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$