Algèbre Exemples

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 1

Ajoutez $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 + \frac{y^{2}}{b^{2}}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$a^{2}, 1, b^{2}$

Étape 2.2

Comme $a^{2}, 1, b^{2}$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $a^{2}, b^{2}$ .

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.6

Les facteurs pour $a^{2}$ sont $a \cdot a$ , qui correspond à $a$ multipliés entre eux $2$ fois.

$a^{2} = a \cdot a$

$a$ se produit $2$ fois.

Étape 2.7

Les facteurs pour $b^{2}$ sont $b \cdot b$ , qui correspond à $b$ multipliés entre eux $2$ fois.

$b^{2} = b \cdot b$

$b$ se produit $2$ fois.

Étape 2.8

Le plus petit multiple commun de $a^{2}, b^{2}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$a \cdot a \cdot b \cdot b$

Étape 2.9

Simplifiez $a \cdot a \cdot b \cdot b$ .

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Étape 2.9.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$a^{2} \cdot b \cdot b$

Étape 2.9.2

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.9.2.1

Déplacez $b$ .

$a^{2} \cdot (b \cdot b)$

Étape 2.9.2.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$a^{2} \cdot b^{2}$

$a^{2} b^{2}$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ par $a^{2} b^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ par $a^{2} b^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{a^{2}} (a^{2} b^{2}) = 1 (a^{2} b^{2}) + \frac{y^{2}}{b^{2}} (a^{2} b^{2})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $a^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $a^{2}$ à partir de $a^{2} b^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{a^{2}} (a^{2} (b^{2})) = 1 (a^{2} b^{2}) + \frac{y^{2}}{b^{2}} (a^{2} b^{2})$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{a^{2}} (a^{2} b^{2}) = 1 (a^{2} b^{2}) + \frac{y^{2}}{b^{2}} (a^{2} b^{2})$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} b^{2} = 1 (a^{2} b^{2}) + \frac{y^{2}}{b^{2}} (a^{2} b^{2})$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $a^{2} b^{2}$ par $1$ .

$x^{2} b^{2} = a^{2} b^{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} (a^{2} b^{2})$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $b^{2}$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Factorisez $b^{2}$ à partir de $a^{2} b^{2}$ .

$x^{2} b^{2} = a^{2} b^{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} (b^{2} a^{2})$

Étape 3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} b^{2} = a^{2} b^{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} (b^{2} a^{2})$

Étape 3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} b^{2} = a^{2} b^{2} + y^{2} a^{2}$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $a^{2} b^{2} + y^{2} a^{2} = x^{2} b^{2}$ .

$a^{2} b^{2} + y^{2} a^{2} = x^{2} b^{2}$

Étape 4.2

Factorisez $a^{2}$ à partir de $a^{2} b^{2} + y^{2} a^{2}$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $a^{2}$ à partir de $a^{2} b^{2}$ .

$a^{2} (b^{2}) + y^{2} a^{2} = x^{2} b^{2}$

Étape 4.2.2

Factorisez $a^{2}$ à partir de $y^{2} a^{2}$ .

$a^{2} (b^{2}) + a^{2} y^{2} = x^{2} b^{2}$

Étape 4.2.3

Factorisez $a^{2}$ à partir de $a^{2} (b^{2}) + a^{2} y^{2}$ .

$a^{2} (b^{2} + y^{2}) = x^{2} b^{2}$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $a^{2} (b^{2} + y^{2}) = x^{2} b^{2}$ par $b^{2} + y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $a^{2} (b^{2} + y^{2}) = x^{2} b^{2}$ par $b^{2} + y^{2}$ .

$\frac{a^{2} (b^{2} + y^{2})}{b^{2} + y^{2}} = \frac{x^{2} b^{2}}{b^{2} + y^{2}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $b^{2} + y^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{2} (b^{2} + y^{2})}{b^{2} + y^{2}} = \frac{x^{2} b^{2}}{b^{2} + y^{2}}$

Étape 4.3.2.1.2

Divisez $a^{2}$ par $1$ .

$a^{2} = \frac{x^{2} b^{2}}{b^{2} + y^{2}}$

Étape 4.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$a = \pm \sqrt{\frac{x^{2} b^{2}}{b^{2} + y^{2}}}$

Étape 4.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{x^{2} b^{2}}{b^{2} + y^{2}}}$ .

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Étape 4.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{x^{2} b^{2}}{b^{2} + y^{2}}}$ comme $\frac{\sqrt{x^{2} b^{2}}}{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}$ .

$a = \pm \frac{\sqrt{x^{2} b^{2}}}{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.2.1

Réécrivez $x^{2} b^{2}$ comme ${(x b)}^{2}$ .

$a = \pm \frac{\sqrt{{(x b)}^{2}}}{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}$

Étape 4.5.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$a = \pm \frac{x b}{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}$

Étape 4.5.3

Multipliez $\frac{x b}{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}$ .

$a = \pm \frac{x b}{\sqrt{b^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}$

Étape 4.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.5.4.1

Multipliez $\frac{x b}{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}$ .

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{\sqrt{b^{2} + y^{2}} \sqrt{b^{2} + y^{2}}}$

Étape 4.5.4.2

Élevez $\sqrt{b^{2} + y^{2}}$ à la puissance $1$ .

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{b^{2} + y^{2}}}$

Étape 4.5.4.3

Élevez $\sqrt{b^{2} + y^{2}}$ à la puissance $1$ .

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{b^{2} + y^{2}}}^{1}}$

Étape 4.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}^{2}}$

Étape 4.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{b^{2} + y^{2}}}^{2}$ comme $b^{2} + y^{2}$ .

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Étape 4.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{b^{2} + y^{2}}$ comme ${(b^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{{({(b^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{{(b^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{{(b^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{{(b^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{{(b^{2} + y^{2})}^{1}}$

Étape 4.5.4.6.5

Simplifiez

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{b^{2} + y^{2}}$

Étape 4.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$a = \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{b^{2} + y^{2}}$

Étape 4.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$a = - \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{b^{2} + y^{2}}$

Étape 4.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$a = \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{b^{2} + y^{2}}$

$a = - \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{b^{2} + y^{2}}$

$a = \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{b^{2} + y^{2}}$

$a = - \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{b^{2} + y^{2}}$

$a = \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{b^{2} + y^{2}}$

$a = - \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{b^{2} + y^{2}}$