Algèbre Exemples

$2 x^{4} + x^{3} - 8 x^{2} - x + 6$

Étape 1

Regroupez les termes.

$2 x^{4} - 8 x^{2} + x^{3} - x + 6$

Étape 2

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{4} - 8 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{4}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) - 8 x^{2} + x^{3} - x + 6$

Étape 2.2

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $- 8 x^{2}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (- 4) + x^{3} - x + 6$

Étape 2.3

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (- 4)$ .

$2 x^{2} (x^{2} - 4) + x^{3} - x + 6$

Étape 3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 x^{2} (x^{2} - 2^{2}) + x^{3} - x + 6$

Étape 4

Factorisez.

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Étape 4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$2 x^{2} ((x + 2) (x - 2)) + x^{3} - x + 6$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x^{2} (x + 2) (x - 2) + x^{3} - x + 6$

Étape 5

Factorisez $x^{3} - x + 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 5.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Étape 5.3

Remplacez $- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.3.1

Remplacez $- 2$ dans le polynôme.

${(- 2)}^{3} - - 2 + 6$

Étape 5.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 - - 2 + 6$

Étape 5.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 8 + 2 + 6$

Étape 5.3.4

Additionnez $- 8$ et $2$ .

$- 6 + 6$

Étape 5.3.5

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$0$

Étape 5.4

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - x + 6}{x + 2}$

Étape 5.5

Divisez $x^{3} - x + 6$ par $x + 2$ .

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Étape 5.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

Étape 5.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$

Étape 5.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 5.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 5.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 5.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$

Étape 5.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$

Étape 5.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 5.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 5.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$3 x$

Étape 5.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$3 x$	+	$6$

Étape 5.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$3 x$	+	$6$

Étape 5.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	+	$6$

Étape 5.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x + 6$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	-	$6$

Étape 5.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	-	$6$
										$0$

Étape 5.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 2 x + 3$

Étape 5.6

Écrivez $x^{3} - x + 6$ comme un ensemble de facteurs.

$2 x^{2} (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x^{2} - 2 x + 3)$

Étape 6

Factorisez $x + 2$ à partir de $2 x^{2} (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x^{2} - 2 x + 3)$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $2 x^{2} (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (2 x^{2} (x - 2)) + (x + 2) (x^{2} - 2 x + 3)$

Étape 6.2

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x + 2) (2 x^{2} (x - 2)) + (x + 2) (x^{2} - 2 x + 3)$ .

$(x + 2) (2 x^{2} (x - 2) + x^{2} - 2 x + 3)$

Étape 7

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 2) (2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 3)$

Étape 8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1

Déplacez $x$ .

$(x + 2) (2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 3)$

Étape 8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x + 2) (2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 3)$

Étape 8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 2) (2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 3)$

Étape 8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 3)$

Étape 9

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$(x + 2) (2 x^{3} - 4 x^{2} + x^{2} - 2 x + 3)$

Étape 10

Additionnez $- 4 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$(x + 2) (2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 3)$

Étape 11

Factorisez.

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Étape 11.1

Réécrivez $2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 3$ en forme factorisée.

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Étape 11.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 11.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 2) ((2 x^{3} - 3 x^{2}) - 2 x + 3)$

Étape 11.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 2) (x^{2} (2 x - 3) - (2 x - 3))$

Étape 11.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 3$ .

$(x + 2) ((2 x - 3) (x^{2} - 1))$

Étape 11.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x + 2) ((2 x - 3) (x^{2} - 1^{2}))$

Étape 11.1.4

Factorisez.

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Étape 11.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 2) ((2 x - 3) ((x + 1) (x - 1)))$

Étape 11.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) ((2 x - 3) (x + 1) (x - 1))$

Étape 11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (2 x - 3) (x + 1) (x - 1)$