Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a b}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a b}}$ par $\frac{\sqrt{a b}}{\sqrt{a b}}$ .

$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a b}} \cdot \frac{\sqrt{a b}}{\sqrt{a b}}$

Étape 2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a b}}$ par $\frac{\sqrt{a b}}{\sqrt{a b}}$ .

$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \sqrt{a b}}{\sqrt{a b} \sqrt{a b}}$

Étape 2.2

Élevez $\sqrt{a b}$ à la puissance $1$ .

$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \sqrt{a b}}{{\sqrt{a b}}^{1} \sqrt{a b}}$

Étape 2.3

Élevez $\sqrt{a b}$ à la puissance $1$ .

$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \sqrt{a b}}{{\sqrt{a b}}^{1} {\sqrt{a b}}^{1}}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \sqrt{a b}}{{\sqrt{a b}}^{1 + 1}}$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \sqrt{a b}}{{\sqrt{a b}}^{2}}$

Étape 2.6

Réécrivez ${\sqrt{a b}}^{2}$ comme $a b$ .

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Étape 2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{a b}$ comme ${(a b)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \sqrt{a b}}{{({(a b)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \sqrt{a b}}{{(a b)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \sqrt{a b}}{{(a b)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \sqrt{a b}}{{(a b)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \sqrt{a b}}{{(a b)}^{1}}$

Étape 2.6.5

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \sqrt{a b}}{a b}$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{a} \sqrt{a b} + \sqrt{b} \sqrt{a b}}{a b}$

Étape 4

Multipliez $\sqrt{a} \sqrt{a b}$ .

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Étape 4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{a (a b)} + \sqrt{b} \sqrt{a b}}{a b}$

Étape 4.2

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{a^{1} a b} + \sqrt{b} \sqrt{a b}}{a b}$

Étape 4.3

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{a^{1} a^{1} b} + \sqrt{b} \sqrt{a b}}{a b}$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{a^{1 + 1} b} + \sqrt{b} \sqrt{a b}}{a b}$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{a^{2} b} + \sqrt{b} \sqrt{a b}}{a b}$

Étape 5

Multipliez $\sqrt{b} \sqrt{a b}$ .

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Étape 5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{a^{2} b} + \sqrt{b (a b)}}{a b}$

Étape 5.2

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{a^{2} b} + \sqrt{a (b^{1} b)}}{a b}$

Étape 5.3

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{a^{2} b} + \sqrt{a (b^{1} b^{1})}}{a b}$

Étape 5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{a^{2} b} + \sqrt{a b^{1 + 1}}}{a b}$

Étape 5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{a^{2} b} + \sqrt{a b^{2}}}{a b}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{a \sqrt{b} + \sqrt{a b^{2}}}{a b}$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $a$ et $b^{2}$ .

$\frac{a \sqrt{b} + \sqrt{b^{2} a}}{a b}$

Étape 6.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{a \sqrt{b} + b \sqrt{a}}{a b}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{b}$ comme $b^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{a b^{\frac{1}{2}} + b \sqrt{a}}{a b}$

Étape 7.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{a}$ comme $a^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{a b^{\frac{1}{2}} + b a^{\frac{1}{2}}}{a b}$

Étape 7.3

Factorisez $a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}$ à partir de $a b^{\frac{1}{2}} + b a^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 7.3.1

Remettez dans l’ordre $b$ et $a^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{a b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} b}{a b}$

Étape 7.3.2

Factorisez $a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}$ à partir de $a b^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} (a^{\frac{1}{2}}) + a^{\frac{1}{2}} b}{a b}$

Étape 7.3.3

Factorisez $a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}$ à partir de $a^{\frac{1}{2}} b$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} (a^{\frac{1}{2}}) + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} (b^{\frac{1}{2}})}{a b}$

Étape 7.3.4

Factorisez $a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}$ à partir de $a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} (a^{\frac{1}{2}}) + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} (b^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a b}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Placez $a^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{b^{\frac{1}{2}} (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a b a^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 8.2

Placez $b^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a b a^{- \frac{1}{2}} b^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1

Multipliez $a$ par $a^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1.1

Déplacez $a^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{- \frac{1}{2}} a b \cdot b^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 9.1.2

Multipliez $a^{- \frac{1}{2}}$ par $a$ .

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Étape 9.1.2.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{- \frac{1}{2}} a^{1} b \cdot b^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 9.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{- \frac{1}{2} + 1} b \cdot b^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 9.1.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} b \cdot b^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 9.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{- 1 + 2}{2}} b \cdot b^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 9.1.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} b \cdot b^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 9.2

Multipliez $b$ par $b^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.1

Déplacez $b^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} (b^{- \frac{1}{2}} b)}$

Étape 9.2.2

Multipliez $b^{- \frac{1}{2}}$ par $b$ .

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Étape 9.2.2.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} (b^{- \frac{1}{2}} b^{1})}$

Étape 9.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} b^{- \frac{1}{2} + 1}}$

Étape 9.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} b^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 9.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{- 1 + 2}{2}}}$

Étape 9.2.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}}$