Algèbre Exemples

$\sin (θ) \cos (θ) - \frac{1}{2} \cos (θ) = 0$

Étape 1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \frac{1}{2} \cdot \cos (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Étape 2

Annulez le facteur commun de $\cos (θ)$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \frac{1}{2} \cdot \cos (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Étape 2.2

Divisez $\sin (θ)$ par $1$ .

$\sin (θ) + \frac{- \frac{1}{2} \cdot \cos (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $\cos (θ)$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) + \frac{- \frac{1}{2} \cdot \cos (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Étape 3.2

Divisez $- \frac{1}{2}$ par $1$ .

$\sin (θ) - \frac{1}{2} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Étape 4

Séparez les fractions.

$\sin (θ) - \frac{1}{2} = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Étape 5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (θ)}$ à $\sec (θ)$ .

$\sin (θ) - \frac{1}{2} = \frac{0}{1} \cdot \sec (θ)$

Étape 6

Divisez $0$ par $1$ .

$\sin (θ) - \frac{1}{2} = 0 \sec (θ)$

Étape 7

Multipliez $0$ par $\sec (θ)$ .

$\sin (θ) - \frac{1}{2} = 0$

Étape 8

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Étape 9

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 10

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Étape 11

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ = π - \frac{π}{6}$

Étape 12

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 12.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 12.2

Associez les fractions.

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Étape 12.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 12.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 12.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 12.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Étape 13

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 13.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 13.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 13.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 13.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 14

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$