Algèbre Exemples

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{4 x})) = 1$

Étape 1

Réécrivez $\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{4 x})) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{1} = \log_{2} (\sqrt{4 x})$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\log_{2} (\sqrt{4 x}) = 2^{1}$ .

$\log_{2} (\sqrt{4 x}) = 2$

Étape 2.2

Réécrivez $\log_{2} (\sqrt{4 x}) = 2^{1}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{2^{1}} = \sqrt{4 x}$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{4 x} = 2^{2^{1}}$ .

$\sqrt{4 x} = 2^{2^{1}}$

Étape 2.3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{4 x}}^{2} = {(2^{2^{1}})}^{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 x}$ comme ${(4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{2^{1}})}^{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.3.2.1

Simplifiez ${({(4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{2^{1}})}^{2}$

Étape 2.3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{2^{1}})}^{2}$

Étape 2.3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 x)}^{1} = {(2^{2^{1}})}^{2}$

Étape 2.3.3.2.1.2

Simplifiez

$4 x = {(2^{2^{1}})}^{2}$

Étape 2.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.3.1

Simplifiez ${(2^{2^{1}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.3.3.1.1

Évaluez l’exposant.

$4 x = {(2^{2})}^{2}$

Étape 2.3.3.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.3.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x = 2^{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.3.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x = 2^{4}$

Étape 2.3.3.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$4 x = 16$

Étape 2.3.4

Divisez chaque terme dans $4 x = 16$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.3.4.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 16$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{16}{4}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{16}{4}$

Étape 2.3.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{16}{4}$

Étape 2.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.4.3.1

Divisez $16$ par $4$ .

$x = 4$