Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4} > 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} + x - 12 = 0$

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 3, - 4$

Étape 7

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Étape 7.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 7.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Étape 7.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 8

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 9

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 10

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 3, - 4$

$x = 2$

Étape 11

Consolidez les solutions.

$x = 3, - 4, 2$

Étape 12

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4}$ .

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Étape 12.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $x$ .

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Étape 12.2.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 12.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Étape 12.2.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 12.2.1.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Étape 12.2.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 12.2.2

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 12.2.3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 12.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 13

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Étape 14

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 14.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 14.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 6 - 12}{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot - 6 + 4} > 0$

Étape 14.1.3

Le côté gauche $0.28125$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 14.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 14.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} + 0 - 12}{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 4} > 0$

Étape 14.2.3

Le côté gauche $- 3$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 14.3

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2.5$

Étape 14.3.2

Remplacez $x$ par $2.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(2.5)}^{2} + 2.5 - 12}{{(2.5)}^{2} - 4 \cdot 2.5 + 4} > 0$

Étape 14.3.3

Le côté gauche $- 13$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 14.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 14.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(6)}^{2} + 6 - 12}{{(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 4} > 0$

Étape 14.4.3

Le côté gauche $1.875$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 14.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < 2$ Faux

$2 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < 2$ Faux

$2 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

Étape 15

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 4$ ou $x > 3$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 4 or x > 3$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 4) \cup (3, \infty)$

Étape 17