Algèbre Exemples

$y = \frac{e^{x^{8}}}{2}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{e^{y^{8}}}{2}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{e^{y^{8}}}{2} = x$ .

$\frac{e^{y^{8}}}{2} = x$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{e^{y^{8}}}{2} = 2 x$

Étape 2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{e^{y^{8}}}{2} = 2 x$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{y^{8}} = 2 x$

Étape 2.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y^{8}}) = \ln (2 x)$

Étape 2.5

Développez le côté gauche.

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Étape 2.5.1

Développez $\ln (e^{y^{8}})$ en déplaçant $y^{8}$ hors du logarithme.

$y^{8} \ln (e) = \ln (2 x)$

Étape 2.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y^{8} \cdot 1 = \ln (2 x)$

Étape 2.5.3

Multipliez $y^{8}$ par $1$ .

$y^{8} = \ln (2 x)$

Étape 2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Étape 2.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Étape 2.7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Étape 2.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ et $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[\frac{1}{2}, \infty)$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $\sqrt[8]{\ln (2 x)}$ .

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Étape 4.3.1

Définissez l’argument dans $\ln (2 x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 x > 0$

Étape 4.3.2

Divisez chaque terme dans $2 x > 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x > 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Étape 4.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{0}{2}$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x > 0$

Étape 4.3.3

Définissez le radicande dans $\sqrt[8]{\ln (2 x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\ln (2 x) \geq 0$

Étape 4.3.4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.4.1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\ln (2 x) = 0$

Étape 4.3.4.2

Résolvez l’équation.

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Étape 4.3.4.2.1

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (2 x)} = e^{0}$

Étape 4.3.4.2.2

Réécrivez $\ln (2 x) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 2 x$

Étape 4.3.4.2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.4.2.3.1

Réécrivez l’équation comme $2 x = e^{0}$ .

$2 x = e^{0}$

Étape 4.3.4.2.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$2 x = 1$

Étape 4.3.4.2.3.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.3.4.2.3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.3.4.2.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.3.4.2.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 4.3.4.3

Déterminez le domaine de $\ln (2 x)$ .

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Étape 4.3.4.3.1

Définissez l’argument dans $\ln (2 x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 x > 0$

Étape 4.3.4.3.2

Divisez chaque terme dans $2 x > 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x > 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Étape 4.3.4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Étape 4.3.4.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{0}{2}$

Étape 4.3.4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.4.3.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x > 0$

Étape 4.3.4.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(0, \infty)$

Étape 4.3.4.4

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \geq \frac{1}{2}$

Étape 4.3.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[\frac{1}{2}, \infty)$

Étape 4.4

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

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Étape 4.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ se trouve sur la plage de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ est le domaine de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Étape 5