Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{5 x^{2} - 10 x + 5}{2 x^{2} - x - 1}$

Étape 1

Factorisez $5 x^{2} - 10 x + 5$ .

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Étape 1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2} - 10 x + 5$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2}$ .

$f (x) = \frac{5 (x^{2}) - 10 x + 5}{2 x^{2} - x - 1}$

Étape 1.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 10 x$ .

$f (x) = \frac{5 (x^{2}) + 5 (- 2 x) + 5}{2 x^{2} - x - 1}$

Étape 1.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f (x) = \frac{5 (x^{2}) + 5 (- 2 x) + 5 (1)}{2 x^{2} - x - 1}$

Étape 1.1.4

Factorisez $5$ à partir de $5 (x^{2}) + 5 (- 2 x)$ .

$f (x) = \frac{5 (x^{2} - 2 x) + 5 (1)}{2 x^{2} - x - 1}$

Étape 1.1.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (x^{2} - 2 x) + 5 (1)$ .

$f (x) = \frac{5 (x^{2} - 2 x + 1)}{2 x^{2} - x - 1}$

Étape 1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (x) = \frac{5 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{2 x^{2} - x - 1}$

Étape 1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$f (x) = \frac{5 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{2 x^{2} - x - 1}$

Étape 1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$f (x) = \frac{5 {(x - 1)}^{2}}{2 x^{2} - x - 1}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f (x) = \frac{5 {(x - 1)}^{2}}{2 x^{2} - (x) - 1}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$f (x) = \frac{5 {(x - 1)}^{2}}{2 x^{2} + (1 - 2) x - 1}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = \frac{5 {(x - 1)}^{2}}{2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1}$

Étape 2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (x) = \frac{5 {(x - 1)}^{2}}{2 x^{2} + x - 2 x - 1}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f (x) = \frac{5 {(x - 1)}^{2}}{(2 x^{2} + x) - 2 x - 1}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f (x) = \frac{5 {(x - 1)}^{2}}{x (2 x + 1) - (2 x + 1)}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$f (x) = \frac{5 {(x - 1)}^{2}}{(2 x + 1) (x - 1)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à ${(x - 1)}^{2}$ et $x - 1$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $5 {(x - 1)}^{2}$ .

$f (x) = \frac{(x - 1) (5 (x - 1))}{(2 x + 1) (x - 1)}$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $(2 x + 1) (x - 1)$ .

$f (x) = \frac{(x - 1) (5 (x - 1))}{(x - 1) (2 x + 1)}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x) = \frac{(x - 1) (5 (x - 1))}{(x - 1) (2 x + 1)}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x) = \frac{5 (x - 1)}{2 x + 1}$

Étape 4

Pour déterminer les trous dans le graphe, regardez les facteurs du dénominateur qui ont été annulés.

$x - 1$

Étape 5

Pour déterminer les coordonnées des trous, définissez chaque facteur qui a été annulé égal à $0$ , résolvez et remplacez à nouveau par $\frac{5 (x - 1)}{2 x + 1}$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.3

Remplacez $x$ par $1$ dans $\frac{5 (x - 1)}{2 x + 1}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Remplacez $x$ par $1$ pour déterminer la coordonnée $y$ du trou.

$\frac{5 (1 - 1)}{2 \cdot 1 + 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{5 \cdot 0}{2 \cdot 1 + 1}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.2.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{5 \cdot 0}{2 + 1}$

Étape 5.3.2.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{5 \cdot 0}{3}$

Étape 5.3.2.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{0}{3}$

Étape 5.3.2.4

Divisez $0$ par $3$ .

$0$

Étape 5.4

Les trous dans le graphe sont les points où tout facteur annulé est égal à $0$ .

$(1, 0)$

Étape 6