Algèbre Exemples

$\frac{2 x + 7}{x - 5} - \frac{5}{x^{2} - 10 x + 25}$

Étape 1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{2 x + 7}{x - 5} - \frac{5}{x^{2} - 10 x + 5^{2}}$

Étape 1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Étape 1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{2 x + 7}{x - 5} - \frac{5}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Étape 1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{2 x + 7}{x - 5} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2 x + 7}{x - 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{2 x + 7}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(x - 5)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{2 x + 7}{x - 5}$ par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{(2 x + 7) (x - 5)}{(x - 5) (x - 5)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 3.2

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{(2 x + 7) (x - 5)}{{(x - 5)}^{1} (x - 5)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 3.3

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{(2 x + 7) (x - 5)}{{(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1}} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(2 x + 7) (x - 5)}{{(x - 5)}^{1 + 1}} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(2 x + 7) (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(2 x + 7) (x - 5) - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Développez $(2 x + 7) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (x - 5) + 7 (x - 5) - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 7 (x - 5) - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 7 x + 7 \cdot - 5 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 + 7 x + 7 \cdot - 5 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 + 7 x + 7 \cdot - 5 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x + 7 x + 7 \cdot - 5 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $7$ par $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x + 7 x - 35 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 10 x$ et $7 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 35 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.3

Soustrayez $5$ de $- 35$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 40}{{(x - 5)}^{2}}$