Algèbre Exemples

$\frac{1}{x} < \frac{1}{x - 3}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{1}{x - 3}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x - 3} < 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{x} - \frac{1}{x - 3}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{x - 3} < 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{1}{x - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} < 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (x - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 3}{x (x - 3)} - \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} < 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{x - 3}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x - 3}{x (x - 3)} - \frac{x}{(x - 3) x} < 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) x$ .

$\frac{x - 3}{x (x - 3)} - \frac{x}{x (x - 3)} < 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 3 - x}{x (x - 3)} < 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 3}{x (x - 3)} < 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$\frac{- 3}{x (x - 3)} < 0$

Étape 2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{x (x - 3)} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 4

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = 3$

Étape 6

Consolidez les solutions.

$x = 0, 3$

Étape 7

Déterminez le domaine de $- \frac{3}{x (x - 3)}$ .

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3}{x (x - 3)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x (x - 3) = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 7.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 7.2.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.2.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 7.2.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 3$

Étape 7.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{- 2} < \frac{1}{(- 2) - 3}$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $- 0.5$ est inférieur au côté droit $- 0.2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{2} < \frac{1}{(2) - 3}$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $0.5$ n’est pas inférieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{6} < \frac{1}{(6) - 3}$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $0.1\overline{6}$ est inférieur au côté droit $0.\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 0$ ou $x > 3$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < 0 or x > 3$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (3, \infty)$

Étape 12