Algèbre Exemples

$f (x) = - 9 \sqrt{x - 8} + 5$ , $x \geq 8$

Étape 1

Déterminez la plage de la fonction donnée.

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Étape 1.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

$(- \infty, 5]$

Étape 1.2

Convertissez $(- \infty, 5]$ en une inégalité.

$y \leq 5$

Étape 2

Déterminez l’inverse.

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Étape 2.1

Interchangez les variables.

$x = - 9 \sqrt{y - 8} + 5$

Étape 2.2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $- 9 \sqrt{y - 8} + 5 = x$ .

$- 9 \sqrt{y - 8} + 5 = x$

Étape 2.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- 9 \sqrt{y - 8} = x - 5$

Étape 2.2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 9 \sqrt{y - 8})}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y - 8}$ comme ${(y - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 9 {(y - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.4.2.1

Simplifiez ${(- 9 {(y - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 9 {(y - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 9)}^{2} {({(y - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.2

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$81 {({(y - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(y - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.4.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 {(y - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$81 {(y - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$81 {(y - 8)}^{1} = {(x - 5)}^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.4

Simplifiez

$81 (y - 8) = {(x - 5)}^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$81 y + 81 \cdot - 8 = {(x - 5)}^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.6

Multipliez $81$ par $- 8$ .

$81 y - 648 = {(x - 5)}^{2}$

Étape 2.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.4.3.1

Simplifiez ${(x - 5)}^{2}$ .

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Étape 2.2.4.3.1.1

Réécrivez ${(x - 5)}^{2}$ comme $(x - 5) (x - 5)$ .

$81 y - 648 = (x - 5) (x - 5)$

Étape 2.2.4.3.1.2

Développez $(x - 5) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$81 y - 648 = x (x - 5) - 5 (x - 5)$

Étape 2.2.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$81 y - 648 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)$

Étape 2.2.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$81 y - 648 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

Étape 2.2.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$81 y - 648 = x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

Étape 2.2.4.3.1.3.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$81 y - 648 = x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5$

Étape 2.2.4.3.1.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$81 y - 648 = x^{2} - 5 x - 5 x + 25$

Étape 2.2.4.3.1.3.2

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$81 y - 648 = x^{2} - 10 x + 25$

Étape 2.2.5

Résolvez $y$ .

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Étape 2.2.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.5.1.1

Ajoutez $648$ aux deux côtés de l’équation.

$81 y = x^{2} - 10 x + 25 + 648$

Étape 2.2.5.1.2

Additionnez $25$ et $648$ .

$81 y = x^{2} - 10 x + 673$

Étape 2.2.5.2

Divisez chaque terme dans $81 y = x^{2} - 10 x + 673$ par $81$ et simplifiez.

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Étape 2.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $81 y = x^{2} - 10 x + 673$ par $81$ .

$\frac{81 y}{81} = \frac{x^{2}}{81} + \frac{- 10 x}{81} + \frac{673}{81}$

Étape 2.2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $81$ .

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Étape 2.2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{81 y}{81} = \frac{x^{2}}{81} + \frac{- 10 x}{81} + \frac{673}{81}$

Étape 2.2.5.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{81} + \frac{- 10 x}{81} + \frac{673}{81}$

Étape 2.2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.5.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{2}}{81} - \frac{10 x}{81} + \frac{673}{81}$

Étape 2.3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{81} - \frac{10 x}{81} + \frac{673}{81}$

Étape 3

Déterminez l’inverse en utilisant le domaine et la plage de la fonction d’origine.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{81} - \frac{10 x}{81} + \frac{673}{81}, x \leq 5$

Étape 4