Algèbre Exemples

$a^{20} - a^{16} + a^{12} - a^{8} + a^{4} - a^{2}$

Étape 1

Factorisez $a^{2}$ à partir de $a^{20} - a^{16} + a^{12} - a^{8} + a^{4} - a^{2}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $a^{2}$ à partir de $a^{20}$ .

$a^{2} a^{18} - a^{16} + a^{12} - a^{8} + a^{4} - a^{2}$

Étape 1.2

Factorisez $a^{2}$ à partir de $- a^{16}$ .

$a^{2} a^{18} + a^{2} (- a^{14}) + a^{12} - a^{8} + a^{4} - a^{2}$

Étape 1.3

Factorisez $a^{2}$ à partir de $a^{12}$ .

$a^{2} a^{18} + a^{2} (- a^{14}) + a^{2} a^{10} - a^{8} + a^{4} - a^{2}$

Étape 1.4

Factorisez $a^{2}$ à partir de $- a^{8}$ .

$a^{2} a^{18} + a^{2} (- a^{14}) + a^{2} a^{10} + a^{2} (- a^{6}) + a^{4} - a^{2}$

Étape 1.5

Factorisez $a^{2}$ à partir de $a^{4}$ .

$a^{2} a^{18} + a^{2} (- a^{14}) + a^{2} a^{10} + a^{2} (- a^{6}) + a^{2} a^{2} - a^{2}$

Étape 1.6

Factorisez $a^{2}$ à partir de $- a^{2}$ .

$a^{2} a^{18} + a^{2} (- a^{14}) + a^{2} a^{10} + a^{2} (- a^{6}) + a^{2} a^{2} + a^{2} \cdot - 1$

Étape 1.7

Factorisez $a^{2}$ à partir de $a^{2} a^{18} + a^{2} (- a^{14})$ .

$a^{2} (a^{18} - a^{14}) + a^{2} a^{10} + a^{2} (- a^{6}) + a^{2} a^{2} + a^{2} \cdot - 1$

Étape 1.8

Factorisez $a^{2}$ à partir de $a^{2} (a^{18} - a^{14}) + a^{2} a^{10}$ .

$a^{2} (a^{18} - a^{14} + a^{10}) + a^{2} (- a^{6}) + a^{2} a^{2} + a^{2} \cdot - 1$

Étape 1.9

Factorisez $a^{2}$ à partir de $a^{2} (a^{18} - a^{14} + a^{10}) + a^{2} (- a^{6})$ .

$a^{2} (a^{18} - a^{14} + a^{10} - a^{6}) + a^{2} a^{2} + a^{2} \cdot - 1$

Étape 1.10

Factorisez $a^{2}$ à partir de $a^{2} (a^{18} - a^{14} + a^{10} - a^{6}) + a^{2} a^{2}$ .

$a^{2} (a^{18} - a^{14} + a^{10} - a^{6} + a^{2}) + a^{2} \cdot - 1$

Étape 1.11

Factorisez $a^{2}$ à partir de $a^{2} (a^{18} - a^{14} + a^{10} - a^{6} + a^{2}) + a^{2} \cdot - 1$ .

$a^{2} (a^{18} - a^{14} + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Étape 2

Factorisez $a^{14}$ à partir de $a^{18} - a^{14}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $a^{14}$ à partir de $a^{18}$ .

$a^{2} (a^{14} a^{4} - a^{14} + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Étape 2.2

Factorisez $a^{14}$ à partir de $- a^{14}$ .

$a^{2} (a^{14} a^{4} + a^{14} \cdot - 1 + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Étape 2.3

Factorisez $a^{14}$ à partir de $a^{14} a^{4} + a^{14} \cdot - 1$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{4} - 1) + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Étape 3

Réécrivez $a^{4}$ comme ${(a^{2})}^{2}$ .

$a^{2} (a^{14} ({(a^{2})}^{2} - 1) + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Étape 4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$a^{2} (a^{14} ({(a^{2})}^{2} - 1^{2}) + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Étape 5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a^{2}$ et $b = 1$ .

$a^{2} (a^{14} ((a^{2} + 1) (a^{2} - 1)) + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Étape 6

Factorisez.

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$a^{2} (a^{14} ((a^{2} + 1) (a^{2} - 1^{2})) + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Étape 6.1.2

Factorisez.

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Étape 6.1.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 1$ .

$a^{2} (a^{14} ((a^{2} + 1) ((a + 1) (a - 1))) + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Étape 6.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$a^{2} (a^{14} ((a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1)) + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Étape 6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{10} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Étape 7

Factorisez $a^{6}$ à partir de $a^{10} - a^{6}$ .

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Étape 7.1

Factorisez $a^{6}$ à partir de $a^{10}$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} a^{4} - a^{6} + a^{2} - 1)$

Étape 7.2

Factorisez $a^{6}$ à partir de $- a^{6}$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} a^{4} + a^{6} \cdot - 1 + a^{2} - 1)$

Étape 7.3

Factorisez $a^{6}$ à partir de $a^{6} a^{4} + a^{6} \cdot - 1$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} (a^{4} - 1) + a^{2} - 1)$

Étape 8

Réécrivez $a^{4}$ comme ${(a^{2})}^{2}$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} ({(a^{2})}^{2} - 1) + a^{2} - 1)$

Étape 9

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} ({(a^{2})}^{2} - 1^{2}) + a^{2} - 1)$

Étape 10

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a^{2}$ et $b = 1$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} ((a^{2} + 1) (a^{2} - 1)) + a^{2} - 1)$

Étape 11

Factorisez.

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Étape 11.1

Simplifiez

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Étape 11.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} ((a^{2} + 1) (a^{2} - 1^{2})) + a^{2} - 1)$

Étape 11.1.2

Factorisez.

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Étape 11.1.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 1$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} ((a^{2} + 1) ((a + 1) (a - 1))) + a^{2} - 1)$

Étape 11.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} ((a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1)) + a^{2} - 1)$

Étape 11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{2} - 1)$

Étape 12

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{2} - 1^{2})$

Étape 13

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 1$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + a^{6} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + (a + 1) (a - 1))$

Étape 14

Factorisez $(a + 1) (a - 1)$ à partir de $a^{6} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + (a + 1) (a - 1)$ .

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Étape 14.1

Factorisez $(a + 1) (a - 1)$ à partir de $a^{6} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1)$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + (a + 1) (a - 1) (a^{6} (a^{2} + 1)) + (a + 1) (a - 1))$

Étape 14.2

Factorisez $(a + 1) (a - 1)$ à partir de $(a + 1) (a - 1)$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + (a + 1) (a - 1) (a^{6} (a^{2} + 1)) + (a + 1) (a - 1) (1))$

Étape 14.3

Factorisez $(a + 1) (a - 1)$ à partir de $(a + 1) (a - 1) (a^{6} (a^{2} + 1)) + (a + 1) (a - 1) (1)$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + (a + 1) (a - 1) (a^{6} (a^{2} + 1) + 1))$

Étape 15

Appliquez la propriété distributive.

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + (a + 1) (a - 1) (a^{6} a^{2} + a^{6} \cdot 1 + 1))$

Étape 16

Multipliez $a^{6}$ par $a^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + (a + 1) (a - 1) (a^{6 + 2} + a^{6} \cdot 1 + 1))$

Étape 16.2

Additionnez $6$ et $2$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + (a + 1) (a - 1) (a^{8} + a^{6} \cdot 1 + 1))$

Étape 17

Multipliez $a^{6}$ par $1$ .

$a^{2} (a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + (a + 1) (a - 1) (a^{8} + a^{6} + 1))$

Étape 18

Factorisez $(a + 1) (a - 1)$ à partir de $a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1) + (a + 1) (a - 1) (a^{8} + a^{6} + 1)$ .

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Étape 18.1

Factorisez $(a + 1) (a - 1)$ à partir de $a^{14} (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1)$ .

$a^{2} ((a + 1) (a - 1) (a^{14} (a^{2} + 1)) + (a + 1) (a - 1) (a^{8} + a^{6} + 1))$

Étape 18.2

Factorisez $(a + 1) (a - 1)$ à partir de $(a + 1) (a - 1) (a^{14} (a^{2} + 1)) + (a + 1) (a - 1) (a^{8} + a^{6} + 1)$ .

$a^{2} ((a + 1) (a - 1) (a^{14} (a^{2} + 1) + a^{8} + a^{6} + 1))$

Étape 19

Appliquez la propriété distributive.

$a^{2} ((a + 1) (a - 1) (a^{14} a^{2} + a^{14} \cdot 1 + a^{8} + a^{6} + 1))$

Étape 20

Multipliez $a^{14}$ par $a^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 20.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{2} ((a + 1) (a - 1) (a^{14 + 2} + a^{14} \cdot 1 + a^{8} + a^{6} + 1))$

Étape 20.2

Additionnez $14$ et $2$ .

$a^{2} ((a + 1) (a - 1) (a^{16} + a^{14} \cdot 1 + a^{8} + a^{6} + 1))$

Étape 21

Multipliez $a^{14}$ par $1$ .

$a^{2} ((a + 1) (a - 1) (a^{16} + a^{14} + a^{8} + a^{6} + 1))$

Étape 22

Supprimez les parenthèses inutiles.

$a^{2} (a + 1) (a - 1) (a^{16} + a^{14} + a^{8} + a^{6} + 1)$