Algèbre Exemples

${(\frac{4}{6})}^{x} \geq \frac{36}{16}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(\frac{4}{6})}^{x}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Développez $\ln ({(\frac{4}{6})}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (\frac{4}{6}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Étape 2.2

Réduisez l’expression $\frac{4}{6}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x \ln (\frac{2 (2)}{6}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Étape 2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x \ln (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun.

$x \ln (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Étape 2.2.4

Réécrivez l’expression.

$x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Étape 2.3

Réécrivez $\ln (\frac{2}{3})$ comme $\ln (2) - \ln (3)$ .

$x (\ln (2) - \ln (3)) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $36$ et $16$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{4 (9)}{16})$

Étape 4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4})$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4})$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{9}{4})$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{9}{4})$ par $\ln (\frac{2}{3})$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{9}{4})$ par $\ln (\frac{2}{3})$ .

$\frac{x \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} \geq \frac{\ln (\frac{9}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (\frac{2}{3})$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} \geq \frac{\ln (\frac{9}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{\ln (\frac{9}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq \frac{\ln (\frac{9}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq \frac{\ln (\frac{9}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{\ln (\frac{9}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}]$

Étape 8