Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 18 x + 40}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Étape 1

Factorisez $2 x^{2} + 18 x + 40$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 18 x + 40$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$f (x) = \frac{2 (x^{2}) + 18 x + 40}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Étape 1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $18 x$ .

$f (x) = \frac{2 (x^{2}) + 2 (9 x) + 40}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Étape 1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $40$ .

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (9 x) + 2 \cdot 20}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Étape 1.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (9 x)$ .

$f (x) = \frac{2 (x^{2} + 9 x) + 2 \cdot 20}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Étape 1.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} + 9 x) + 2 \cdot 20$ .

$f (x) = \frac{2 (x^{2} + 9 x + 20)}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Factorisez $x^{2} + 9 x + 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $20$ et dont la somme est $9$ .

$4, 5$

Étape 1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f (x) = \frac{2 ((x + 4) (x + 5))}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 25 = - 75$ et dont la somme est $b = 10$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $10$ à partir de $10 x$ .

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{3 x^{2} + 10 (x) - 25}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $10$ comme $- 5$ plus $15$

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{3 x^{2} + (- 5 + 15) x - 25}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{3 x^{2} - 5 x + 15 x - 25}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{(3 x^{2} - 5 x) + 15 x - 25}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{x (3 x - 5) + 5 (3 x - 5)}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 5$ .

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{(3 x - 5) (x + 5)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{(3 x - 5) (x + 5)}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression.

$f (x) = \frac{2 (x + 4)}{3 x - 5}$

Étape 4

Pour déterminer les trous dans le graphe, regardez les facteurs du dénominateur qui ont été annulés.

$x + 5$

Étape 5

Pour déterminer les coordonnées des trous, définissez chaque facteur qui a été annulé égal à $0$ , résolvez et remplacez à nouveau par $\frac{2 (x + 4)}{3 x - 5}$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 5.3

Remplacez $x$ par $- 5$ dans $\frac{2 (x + 4)}{3 x - 5}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Remplacez $x$ par $- 5$ pour déterminer la coordonnée $y$ du trou.

$\frac{2 (- 5 + 4)}{3 \cdot - 5 - 5}$

Étape 5.3.2

Simplifiez

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Étape 5.3.2.1

Additionnez $- 5$ et $4$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{3 \cdot - 5 - 5}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.2.2.1

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{- 15 - 5}$

Étape 5.3.2.2.2

Soustrayez $5$ de $- 15$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{- 20}$

Étape 5.3.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2}{- 20}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $- 20$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{- 2 (1)}{- 20}$

Étape 5.3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.4.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 20$ .

$\frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 10}$

Étape 5.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 10}$

Étape 5.3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{10}$

Étape 5.4

Les trous dans le graphe sont les points où tout facteur annulé est égal à $0$ .

$(- 5, \frac{1}{10})$

Étape 6