Algèbre Exemples

$f (x) = - 3 \sqrt{x + 2} - 6$ , $x \geq - 2$

Étape 1

Déterminez la plage de la fonction donnée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

$(- \infty, - 6]$

Étape 1.2

Convertissez $(- \infty, - 6]$ en une inégalité.

$y \leq - 6$

Étape 2

Déterminez l’inverse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Interchangez les variables.

$x = - 3 \sqrt{y + 2} - 6$

Étape 2.2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 \sqrt{y + 2} - 6 = x$ .

$- 3 \sqrt{y + 2} - 6 = x$

Étape 2.2.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 \sqrt{y + 2} = x + 6$

Étape 2.2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 3 \sqrt{y + 2})}^{2} = {(x + 6)}^{2}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 2}$ comme ${(y + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3 {(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 6)}^{2}$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.1

Simplifiez ${(- 3 {(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 3 {(y + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3)}^{2} {({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 6)}^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$9 {({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 6)}^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 6)}^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$9 {(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 6)}^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$9 {(y + 2)}^{1} = {(x + 6)}^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.4

Simplifiez

$9 (y + 2) = {(x + 6)}^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$9 y + 9 \cdot 2 = {(x + 6)}^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.6

Multipliez $9$ par $2$ .

$9 y + 18 = {(x + 6)}^{2}$

Étape 2.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.3.1

Simplifiez ${(x + 6)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.3.1.1

Réécrivez ${(x + 6)}^{2}$ comme $(x + 6) (x + 6)$ .

$9 y + 18 = (x + 6) (x + 6)$

Étape 2.2.4.3.1.2

Développez $(x + 6) (x + 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 y + 18 = x (x + 6) + 6 (x + 6)$

Étape 2.2.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 y + 18 = x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6)$

Étape 2.2.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 y + 18 = x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6$

Étape 2.2.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$9 y + 18 = x^{2} + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6$

Étape 2.2.4.3.1.3.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$9 y + 18 = x^{2} + 6 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 6$

Étape 2.2.4.3.1.3.1.3

Multipliez $6$ par $6$ .

$9 y + 18 = x^{2} + 6 x + 6 x + 36$

Étape 2.2.4.3.1.3.2

Additionnez $6 x$ et $6 x$ .

$9 y + 18 = x^{2} + 12 x + 36$

Étape 2.2.5

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1.1

Soustrayez $18$ des deux côtés de l’équation.

$9 y = x^{2} + 12 x + 36 - 18$

Étape 2.2.5.1.2

Soustrayez $18$ de $36$ .

$9 y = x^{2} + 12 x + 18$

Étape 2.2.5.2

Divisez chaque terme dans $9 y = x^{2} + 12 x + 18$ par $9$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $9 y = x^{2} + 12 x + 18$ par $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{x^{2}}{9} + \frac{12 x}{9} + \frac{18}{9}$

Étape 2.2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 y}{9} = \frac{x^{2}}{9} + \frac{12 x}{9} + \frac{18}{9}$

Étape 2.2.5.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{12 x}{9} + \frac{18}{9}$

Étape 2.2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $12$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{3 (4 x)}{9} + \frac{18}{9}$

Étape 2.2.5.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.3.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{3 (4 x)}{3 (3)} + \frac{18}{9}$

Étape 2.2.5.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{3 (4 x)}{3 \cdot 3} + \frac{18}{9}$

Étape 2.2.5.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{4 x}{3} + \frac{18}{9}$

Étape 2.2.5.2.3.1.2

Divisez $18$ par $9$ .

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{4 x}{3} + 2$

Étape 2.3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{9} + \frac{4 x}{3} + 2$

Étape 3

Déterminez l’inverse en utilisant le domaine et la plage de la fonction d’origine.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{9} + \frac{4 x}{3} + 2, x \leq - 6$

Étape 4