Algèbre Exemples

$\frac{x^{3} - 9 x}{x^{2} + 10 x + 21} \cdot \frac{x^{2} + 7 x}{x^{2} + 5 x - 24}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 9 x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 9 x}{x^{2} + 10 x + 21} \cdot \frac{x^{2} + 7 x}{x^{2} + 5 x - 24}$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 9 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 9}{x^{2} + 10 x + 21} \cdot \frac{x^{2} + 7 x}{x^{2} + 5 x - 24}$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$\frac{x (x^{2} - 9)}{x^{2} + 10 x + 21} \cdot \frac{x^{2} + 7 x}{x^{2} + 5 x - 24}$

Étape 1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x (x^{2} - 3^{2})}{x^{2} + 10 x + 21} \cdot \frac{x^{2} + 7 x}{x^{2} + 5 x - 24}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 10 x + 21} \cdot \frac{x^{2} + 7 x}{x^{2} + 5 x - 24}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 10 x + 21$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $21$ et dont la somme est $10$ .

$3, 7$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x + 7)} \cdot \frac{x^{2} + 7 x}{x^{2} + 5 x - 24}$

Étape 3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 7 x$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x + 7)} \cdot \frac{x \cdot x + 7 x}{x^{2} + 5 x - 24}$

Étape 3.2

Factorisez $x$ à partir de $7 x$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x + 7)} \cdot \frac{x \cdot x + x \cdot 7}{x^{2} + 5 x - 24}$

Étape 3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 7$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x + 7)} \cdot \frac{x (x + 7)}{x^{2} + 5 x - 24}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} + 5 x - 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 24$ et dont la somme est $5$ .

$- 3, 8$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x + 7)} \cdot \frac{x (x + 7)}{(x - 3) (x + 8)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x - 3$ à partir de $x (x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{(x - 3) (x (x + 3))}{(x + 3) (x + 7)} \cdot \frac{x (x + 7)}{(x - 3) (x + 8)}$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 3) (x (x + 3))}{(x + 3) (x + 7)} \cdot \frac{x (x + 7)}{(x - 3) (x + 8)}$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (x + 3)}{(x + 3) (x + 7)} \cdot \frac{x (x + 7)}{x + 8}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x + 7$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x + 7$ à partir de $(x + 3) (x + 7)$ .

$\frac{x (x + 3)}{(x + 7) (x + 3)} \cdot \frac{x (x + 7)}{x + 8}$

Étape 5.2.2

Factorisez $x + 7$ à partir de $x (x + 7)$ .

$\frac{x (x + 3)}{(x + 7) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 7) x}{x + 8}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x + 3)}{(x + 7) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 7) x}{x + 8}$

Étape 5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (x + 3)}{x + 3} \cdot \frac{x}{x + 8}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{x (x + 3)}{x + 3}$ par $\frac{x}{x + 8}$ .

$\frac{x (x + 3) x}{(x + 3) (x + 8)}$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x (x + 3)}{(x + 3) (x + 8)}$

Étape 7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} (x + 3)}{(x + 3) (x + 8)}$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 1} (x + 3)}{(x + 3) (x + 8)}$

Étape 9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} (x + 3)}{(x + 3) (x + 8)}$

Étape 10

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (x + 3)}{(x + 3) (x + 8)}$

Étape 10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{x + 8}$