Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)} \leq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} = 0$

${(x + 1)}^{3} = 0$

$x - 7 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$- x^{2} - 1 = 0$

Étape 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 6

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 7

Définissez le $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 8

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 9

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = 1$

Étape 10

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 10.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Étape 10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Étape 11

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 12

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 13

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 13.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 13.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 13.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 14

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = - 1$

$x = 7$

$x = - 3$

$x = i, - i$

Étape 15

Consolidez les solutions.

$x = 0, - 1, 7, - 3$

Étape 16

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)}$ .

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Étape 16.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1) = 0$

Étape 16.2

Résolvez $x$ .

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Étape 16.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 7 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$- x^{2} - 1 = 0$

Étape 16.2.2

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 16.2.2.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 16.2.2.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 16.2.3

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 16.2.3.1

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 16.2.3.2

Résolvez ${(x + 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 16.2.3.2.1

Définissez le $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 16.2.3.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 16.2.4

Définissez $- x^{2} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 16.2.4.1

Définissez $- x^{2} - 1$ égal à $0$ .

$- x^{2} - 1 = 0$

Étape 16.2.4.2

Résolvez $- x^{2} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 16.2.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = 1$

Étape 16.2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 16.2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 16.2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 16.2.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 16.2.4.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Étape 16.2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 16.2.4.2.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Étape 16.2.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 16.2.4.2.4

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 16.2.4.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 16.2.4.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 16.2.4.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 16.2.4.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 16.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1) = 0$ vraie.

$x = 7, - 3, i, - i$

Étape 16.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 7) \cup (7, \infty)$

Étape 17

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

Étape 18

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 18.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 18.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 18.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 6)}^{2} {((- 6) + 1)}^{3}}{((- 6) - 7) {((- 6) + 3)}^{2} (- {(- 6)}^{2} - 1)} \leq 0$

Étape 18.1.3

Le côté gauche $- 1.\overline{039501}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 18.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 18.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 18.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 2)}^{2} {((- 2) + 1)}^{3}}{((- 2) - 7) {((- 2) + 3)}^{2} (- {(- 2)}^{2} - 1)} \leq 0$

Étape 18.2.3

Le côté gauche $- 0.0\overline{8}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 18.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 18.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.5$

Étape 18.3.2

Remplacez $x$ par $- 0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 0.5)}^{2} {((- 0.5) + 1)}^{3}}{((- 0.5) - 7) {((- 0.5) + 3)}^{2} (- {(- 0.5)}^{2} - 1)} \leq 0$

Étape 18.3.3

Le côté gauche $0.0005\overline{3}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 18.4

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 18.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 18.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(4)}^{2} {((4) + 1)}^{3}}{((4) - 7) {((4) + 3)}^{2} (- {(4)}^{2} - 1)} \leq 0$

Étape 18.4.3

Le côté gauche $0.80032012$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 18.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 18.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 18.5.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(10)}^{2} {((10) + 1)}^{3}}{((10) - 7) {((10) + 3)}^{2} (- {(10)}^{2} - 1)} \leq 0$

Étape 18.5.3

Le côté gauche $- 2.599254$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 18.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 0$ Faux

$0 < x < 7$ Faux

$x > 7$ Vrai

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 0$ Faux

$0 < x < 7$ Faux

$x > 7$ Vrai

Étape 19

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 3$ ou $- 3 < x \leq - 1$ ou $x > 7$ ou $x = 0$

Étape 20

Associez les intervalles.

$x < - 3 or - 3 < x \leq - 1 or x = 0 or x > 7$

Étape 21

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 3 or - 3 < x \leq - 1 or x = 0 or x > 7$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1] \cup [0, 0] \cup (7, \infty)$

Étape 22