Algèbre Exemples

$f (x) = - \frac{1}{2} \sqrt{x + 3}$ , $x \geq - 3$

Étape 1

Déterminez la plage de la fonction donnée.

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Étape 1.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

$(- \infty, 0]$

Étape 1.2

Convertissez $(- \infty, 0]$ en une inégalité.

$y \leq 0$

Étape 2

Déterminez l’inverse.

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Étape 2.1

Interchangez les variables.

$x = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3}$

Étape 2.2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3} = x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3} = x$

Étape 2.2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3}) = - 2 x$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3})$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Associez $\sqrt{y + 3}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{y + 3}}{2}) = - 2 x$

Étape 2.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{y + 3}}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Étape 2.2.3.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Étape 2.2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Étape 2.2.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - \sqrt{y + 3} = - 2 x$

Étape 2.2.3.1.3

Multipliez.

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Étape 2.2.3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \sqrt{y + 3} = - 2 x$

Étape 2.2.3.1.3.2

Multipliez $\sqrt{y + 3}$ par $1$ .

$\sqrt{y + 3} = - 2 x$

Étape 2.2.4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y + 3}}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Étape 2.2.5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 3}$ comme ${(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.5.2.1

Simplifiez ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.5.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Étape 2.2.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Étape 2.2.5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 3)}^{1} = {(- 2 x)}^{2}$

Étape 2.2.5.2.1.2

Simplifiez

$y + 3 = {(- 2 x)}^{2}$

Étape 2.2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.5.3.1

Simplifiez ${(- 2 x)}^{2}$ .

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Étape 2.2.5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 x$ .

$y + 3 = {(- 2)}^{2} x^{2}$

Étape 2.2.5.3.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y + 3 = 4 x^{2}$

Étape 2.2.6

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = 4 x^{2} - 3$

Étape 2.3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3$

Étape 3

Déterminez l’inverse en utilisant le domaine et la plage de la fonction d’origine.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3, x \leq 0$

Étape 4