Algèbre Exemples

${(x^{2} + 3)}^{2} = 4 x^{2} + 12$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(x^{2} + 3)}^{2} - 4 x^{2} = 12$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Réécrivez ${(x^{2} + 3)}^{2}$ comme $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ .

$(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 4 x^{2} = 12$

Étape 1.2.2

Développez $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (x^{2} + 3) + 3 (x^{2} + 3) - 4 x^{2} = 12$

Étape 1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 (x^{2} + 3) - 4 x^{2} = 12$

Étape 1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 4 x^{2} = 12$

Étape 1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 4 x^{2} = 12$

Étape 1.2.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 4 x^{2} = 12$

Étape 1.2.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$x^{4} + 3 \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 4 x^{2} = 12$

Étape 1.2.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 9 - 4 x^{2} = 12$

Étape 1.2.3.2

Additionnez $3 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$x^{4} + 6 x^{2} + 9 - 4 x^{2} = 12$

Étape 1.3

Soustrayez $4 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$x^{4} + 2 x^{2} + 9 = 12$

Étape 2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} + 2 u + 9 = 12$

$u = x^{2}$

Étape 3

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} + 2 u + 9 - 12 = 0$

Étape 4

Soustrayez $12$ de $9$ .

$u^{2} + 2 u - 3 = 0$

Étape 5

Factorisez $u^{2} + 2 u - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 1) (u + 3) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 3 = 0$

Étape 7

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 7.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 8

Définissez $u + 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 8.1

Définissez $u + 3$ égal à $0$ .

$u + 3 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 3$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 1) (u + 3) = 0$ vraie.

$u = 1, - 3$

Étape 10

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 1$

${(x^{2})}^{1} = - 3$

Étape 11

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 1$

Étape 12

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 12.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 12.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 12.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 12.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 12.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 12.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 13

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 3$

Étape 14

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 14.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = - 3$

Étape 14.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Étape 14.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Étape 14.3.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Étape 14.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Étape 14.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Étape 14.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 14.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{3}$

Étape 14.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 14.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 15

La solution à $x^{4} + 2 x^{2} + 9 = 12$ est $x = 1, - 1, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$ .

$x = 1, - 1, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$