Algèbre Exemples

$(3 x + 10) (2 x^{2} + 1) (2 - x) > 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 10 = 0$

$2 x^{2} + 1 = 0$

$2 - x = 0$

Étape 2

Définissez $3 x + 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Définissez $3 x + 10$ égal à $0$ .

$3 x + 10 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $3 x + 10 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 10$

Étape 2.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 10$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 10$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

Étape 2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 10}{3}$

Étape 2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{10}{3}$

Étape 3

Définissez $2 x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $2 x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $2 x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = - 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Étape 3.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.2.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{2}$ comme $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Étape 3.2.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Étape 3.2.4.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Étape 3.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Étape 3.2.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2.4.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.2.4.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 3.2.4.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 3.2.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.2.4.7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.2.4.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.2.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.2.4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.2.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.2.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.2.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.2.4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.2.4.8

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 4

Définissez $2 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $2 - x$ égal à $0$ .

$2 - x = 0$

Étape 4.2

Résolvez $2 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 4.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 10) (2 x^{2} + 1) (2 - x) > 0$ vraie.

$x = - \frac{10}{3}, \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}, 2$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{10}{3}$

$- \frac{10}{3} < x < 2$

$x > 2$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{10}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{10}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$(3 (- 6) + 10) (2 {(- 6)}^{2} + 1) (2 - (- 6)) > 0$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $- 4672$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{10}{3} < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{10}{3} < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(3 (0) + 10) (2 {(0)}^{2} + 1) (2 - (0)) > 0$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $20$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$(3 (4) + 10) (2 {(4)}^{2} + 1) (2 - (4)) > 0$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $- 1452$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{10}{3}$ Faux

$- \frac{10}{3} < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

$x < - \frac{10}{3}$ Faux

$- \frac{10}{3} < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{10}{3} < x < 2$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- \frac{10}{3} < x < 2$

Notation d’intervalle :

$(- \frac{10}{3}, 2)$

Étape 10