Algèbre Exemples

$f (x) = - \frac{1}{4} {(x - 1)}^{2} + 4$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Associez ${(x - 1)}^{2}$ et $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + 4$

Étape 1.1.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - 1)}^{2} + 4$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 1$

$k = 4$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(1, 4)$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.5.3

Simplifiez

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 1.5.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.5.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Étape 1.5.3.3

Divisez $4$ par $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Étape 1.5.3.4

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 1.5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{1}$

Étape 1.5.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1$

Étape 1.5.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(1, 3)$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 1$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = 5$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(1, 4)$

Foyer : $(1, 3)$

Axe de symétrie : $x = 1$

Directrice : $y = 5$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(1, 4)$

Foyer : $(1, 3)$

Axe de symétrie : $x = 1$

Directrice : $y = 5$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + \frac{- 1}{2} + \frac{15}{4}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 1) = \frac{- {(- 1)}^{2} + 15}{4} + \frac{- 1}{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- 1) = \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} + 15}{4} + \frac{- 1}{2}$

Étape 2.2.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{1 + 2} + 15}{4} + \frac{- 1}{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3} + 15}{4} + \frac{- 1}{2}$

Étape 2.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 15}{4} + \frac{- 1}{2}$

Étape 2.2.3

Additionnez $- 1$ et $15$ .

$f (- 1) = \frac{14}{4} + \frac{- 1}{2}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun à $14$ et $4$ .

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Étape 2.2.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$f (- 1) = \frac{2 (7)}{4} + \frac{- 1}{2}$

Étape 2.2.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- 1) = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 2.2.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 1) = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 2.2.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 1) = \frac{7}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 2.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 1) = \frac{7}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 2.2.5

Associez les fractions.

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Étape 2.2.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 1) = \frac{7 - 1}{2}$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.5.2.1

Soustrayez $1$ de $7$ .

$f (- 1) = \frac{6}{2}$

Étape 2.2.5.2.2

Divisez $6$ par $2$ .

$f (- 1) = 3$

Étape 2.2.6

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = - 1$ est $3$ .

$y = 3$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{4} + \frac{0}{2} + \frac{15}{4}$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (0) = \frac{- {(0)}^{2} + 15}{4} + \frac{0}{2}$

Étape 2.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{- 0 + 15}{4} + \frac{0}{2}$

Étape 2.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 15}{4} + \frac{0}{2}$

Étape 2.5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.3.1

Additionnez $0$ et $15$ .

$f (0) = \frac{15}{4} + \frac{0}{2}$

Étape 2.5.3.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f (0) = \frac{15}{4} + 0$

Étape 2.5.3.3

Additionnez $\frac{15}{4}$ et $0$ .

$f (0) = \frac{15}{4}$

Étape 2.5.4

La réponse finale est $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = 0$ est $\frac{15}{4}$ .

$y = \frac{15}{4}$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{4} + \frac{3}{2} + \frac{15}{4}$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (3) = \frac{- {(3)}^{2} + 15}{4} + \frac{3}{2}$

Étape 2.8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = \frac{- 1 \cdot 9 + 15}{4} + \frac{3}{2}$

Étape 2.8.2.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f (3) = \frac{- 9 + 15}{4} + \frac{3}{2}$

Étape 2.8.3

Simplifiez les termes.

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Étape 2.8.3.1

Additionnez $- 9$ et $15$ .

$f (3) = \frac{6}{4} + \frac{3}{2}$

Étape 2.8.3.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 2.8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (3) = \frac{2 (3)}{4} + \frac{3}{2}$

Étape 2.8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (3) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

Étape 2.8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (3) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

Étape 2.8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (3) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 2.8.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (3) = \frac{3 + 3}{2}$

Étape 2.8.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.3.4.1

Additionnez $3$ et $3$ .

$f (3) = \frac{6}{2}$

Étape 2.8.3.4.2

Divisez $6$ par $2$ .

$f (3) = 3$

Étape 2.8.4

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = 3$ est $3$ .

$y = 3$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{4} + \frac{2}{2} + \frac{15}{4}$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 15}{4} + \frac{2}{2}$

Étape 2.11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 15}{4} + \frac{2}{2}$

Étape 2.11.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (2) = \frac{- 4 + 15}{4} + \frac{2}{2}$

Étape 2.11.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.11.3.1

Additionnez $- 4$ et $15$ .

$f (2) = \frac{11}{4} + \frac{2}{2}$

Étape 2.11.3.2

Divisez $2$ par $2$ .

$f (2) = \frac{11}{4} + 1$

Étape 2.11.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (2) = \frac{11}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 2.11.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (2) = \frac{11 + 4}{4}$

Étape 2.11.3.5

Additionnez $11$ et $4$ .

$f (2) = \frac{15}{4}$

Étape 2.11.4

La réponse finale est $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = 2$ est $\frac{15}{4}$ .

$y = \frac{15}{4}$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 3 \\ 0 & \frac{15}{4} \\ 1 & 4 \\ 2 & \frac{15}{4} \\ 3 & 3 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(1, 4)$

Foyer : $(1, 3)$

Axe de symétrie : $x = 1$

Directrice : $y = 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 3 \\ 0 & \frac{15}{4} \\ 1 & 4 \\ 2 & \frac{15}{4} \\ 3 & 3 \end{array}$

Étape 4