Algèbre Exemples

${(\frac{9}{8})}^{3 x + 12} = 1$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(\frac{9}{8})}^{3 x + 12}) = \ln (1)$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Développez $\ln ({(\frac{9}{8})}^{3 x + 12})$ en déplaçant $3 x + 12$ hors du logarithme.

$(3 x + 12) \ln (\frac{9}{8}) = \ln (1)$

Étape 2.2

Réécrivez $\ln (\frac{9}{8})$ comme $\ln (9) - \ln (8)$ .

$(3 x + 12) (\ln (9) - \ln (8)) = \ln (1)$

Étape 2.3

Réécrivez $\ln (8)$ comme $\ln (2^{3})$ .

$(3 x + 12) (\ln (9) - \ln (2^{3})) = \ln (1)$

Étape 2.4

Développez $\ln (2^{3})$ en déplaçant $3$ hors du logarithme.

$(3 x + 12) (\ln (9) - (3 \ln (2))) = \ln (1)$

Étape 2.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$(3 x + 12) (\ln (9) - 3 \ln (2)) = \ln (1)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $(3 x + 12) (\ln (9) - 3 \ln (2))$ .

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Étape 3.1.1

Développez $(3 x + 12) (\ln (9) - 3 \ln (2))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x (\ln (9) - 3 \ln (2)) + 12 (\ln (9) - 3 \ln (2)) = \ln (1)$

Étape 3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x \ln (9) + 3 x (- 3 \ln (2)) + 12 (\ln (9) - 3 \ln (2)) = \ln (1)$

Étape 3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x \ln (9) + 3 x (- 3 \ln (2)) + 12 \ln (9) + 12 (- 3 \ln (2)) = \ln (1)$

Étape 3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$3 x \ln (9) - 9 x \ln (2) + 12 \ln (9) + 12 (- 3 \ln (2)) = \ln (1)$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $- 3$ par $12$ .

$3 x \ln (9) - 9 x \ln (2) + 12 \ln (9) - 36 \ln (2) = \ln (1)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$3 x \ln (9) - 9 x \ln (2) + 12 \ln (9) - 36 \ln (2) = 0$

Étape 5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $12 \ln (9)$ des deux côtés de l’équation.

$3 x \ln (9) - 9 x \ln (2) - 36 \ln (2) = - 12 \ln (9)$

Étape 5.2

Ajoutez $36 \ln (2)$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x \ln (9) - 9 x \ln (2) = - 12 \ln (9) + 36 \ln (2)$

Étape 6

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x \ln (9) - 9 x \ln (2)$ .

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Étape 6.1

Factorisez $3 x$ à partir de $- 9 x \ln (2)$ .

$3 x \ln (9) + 3 x (- 3 \ln (2)) = - 12 \ln (9) + 36 \ln (2)$

Étape 6.2

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x \ln (9) + 3 x (- 3 \ln (2))$ .

$3 x (\ln (9) - 3 \ln (2)) = - 12 \ln (9) + 36 \ln (2)$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $3 x (\ln (9) - 3 \ln (2)) = - 12 \ln (9) + 36 \ln (2)$ par $3 (\ln (9) - 3 \ln (2))$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $3 x (\ln (9) - 3 \ln (2)) = - 12 \ln (9) + 36 \ln (2)$ par $3 (\ln (9) - 3 \ln (2))$ .

$\frac{3 x (\ln (9) - 3 \ln (2))}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} = \frac{- 12 \ln (9)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x (\ln (9) - 3 \ln (2))}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} = \frac{- 12 \ln (9)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Étape 7.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (\ln (9) - 3 \ln (2))}{\ln (9) - 3 \ln (2)} = \frac{- 12 \ln (9)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (9) - 3 \ln (2)$ .

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (9) - 3 \ln (2))}{\ln (9) - 3 \ln (2)} = \frac{- 12 \ln (9)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Étape 7.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 12 \ln (9)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $3$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12 \ln (9)$ .

$x = \frac{3 (- 4 \ln (9))}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Étape 7.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 (- 4 \ln (9))}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Étape 7.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 4 \ln (9)}{\ln (9) - 3 \ln (2)} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Étape 7.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4 \ln (9)}{\ln (9) - 3 \ln (2)} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Étape 7.3.1.3

Annulez le facteur commun à $36$ et $3$ .

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Étape 7.3.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $36 \ln (2)$ .

$x = - \frac{4 \ln (9)}{\ln (9) - 3 \ln (2)} + \frac{3 (12 \ln (2))}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Étape 7.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{4 \ln (9)}{\ln (9) - 3 \ln (2)} + \frac{3 (12 \ln (2))}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Étape 7.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{4 \ln (9)}{\ln (9) - 3 \ln (2)} + \frac{12 \ln (2)}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Étape 7.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 7.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 4 \ln (9) + 12 \ln (2)}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Étape 7.3.2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \ln (9) + 12 \ln (2)$ .

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Étape 7.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \ln (9)$ .

$x = \frac{4 (- \ln (9)) + 12 \ln (2)}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Étape 7.3.2.2.2

Factorisez $4$ à partir de $12 \ln (2)$ .

$x = \frac{4 (- \ln (9)) + 4 (3 \ln (2))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Étape 7.3.2.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- \ln (9)) + 4 (3 \ln (2))$ .

$x = \frac{4 (- \ln (9) + 3 \ln (2))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Étape 7.3.2.3

Annulez le facteur commun à $- \ln (9) + 3 \ln (2)$ et $\ln (9) - 3 \ln (2)$ .

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Étape 7.3.2.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (9)$ .

$x = \frac{4 (- \ln (9) + 3 \ln (2))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Étape 7.3.2.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $3 \ln (2)$ .

$x = \frac{4 (- \ln (9) - (- 3 \ln (2)))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Étape 7.3.2.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (9) - (- 3 \ln (2))$ .

$x = \frac{4 (- (\ln (9) - 3 \ln (2)))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Étape 7.3.2.3.4

Réécrivez $- (\ln (9) - 3 \ln (2))$ comme $- 1 (\ln (9) - 3 \ln (2))$ .

$x = \frac{4 (- 1 (\ln (9) - 3 \ln (2)))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Étape 7.3.2.3.5

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{4 (- 1 (\ln (9) - 3 \ln (2)))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Étape 7.3.2.3.6

Divisez $4 \cdot (- 1)$ par $1$ .

$x = 4 \cdot (- 1)$

Étape 7.3.2.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x = - 4$