Algèbre Exemples

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 3}{x^{2} - 3 x - 4} \div \frac{4 x^{2} + 2 x - 6}{x^{2} - 8 x + 16}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 3}{x^{2} - 3 x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 (x) + 3}{x^{2} - 3 x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $5$ comme $2$ plus $3$

$\frac{2 x^{2} + (2 + 3) x + 3}{x^{2} - 3 x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 3 x + 3}{x^{2} - 3 x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x) + 3 x + 3}{x^{2} - 3 x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 x (x + 1) + 3 (x + 1)}{x^{2} - 3 x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 3)}{x^{2} - 3 x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} - 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 4, 1$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 1) (2 x + 3)}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (2 x + 3)}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Étape 5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 4^{2}}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Étape 5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 5.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Étape 5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2} + 2 x - 6$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (2 x^{2}) + 2 x - 6}$

Étape 6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (2 x^{2}) + 2 (x) - 6}$

Étape 6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (2 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2}) + 2 x$ .

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (2 x^{2} + x) + 2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2} + x) + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (2 x^{2} + x - 3)}$

Étape 6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 6.2.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (2 x^{2} + 1 x - 3)}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 2$ plus $3$

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (2 x^{2} + (- 2 + 3) x - 3)}$

Étape 6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (2 x^{2} - 2 x + 3 x - 3)}$

Étape 6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 ((2 x^{2} - 2 x) + 3 x - 3)}$

Étape 6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (2 x (x - 1) + 3 (x - 1))}$

Étape 6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 ((x - 1) (2 x + 3))}$

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (x - 1) (2 x + 3)}$

Étape 7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $2 x + 3$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $2 x + 3$ à partir de $2 (x - 1) (2 x + 3)$ .

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{(2 x + 3) (2 (x - 1))}$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{(2 x + 3) (2 (x - 1))}$

Étape 7.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (x - 1)}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $x - 4$ à partir de ${(x - 4)}^{2}$ .

$\frac{1}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 4)}{2 (x - 1)}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 4)}{2 (x - 1)}$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 4}{2 (x - 1)}$