Algèbre Exemples

${(\frac{625}{256})}^{5 x - 4} = 1$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(\frac{625}{256})}^{5 x - 4}) = \ln (1)$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Développez $\ln ({(\frac{625}{256})}^{5 x - 4})$ en déplaçant $5 x - 4$ hors du logarithme.

$(5 x - 4) \ln (\frac{625}{256}) = \ln (1)$

Étape 2.2

Réécrivez $\ln (\frac{625}{256})$ comme $\ln (625) - \ln (256)$ .

$(5 x - 4) (\ln (625) - \ln (256)) = \ln (1)$

Étape 2.3

Réécrivez $\ln (256)$ comme $\ln (2^{8})$ .

$(5 x - 4) (\ln (625) - \ln (2^{8})) = \ln (1)$

Étape 2.4

Développez $\ln (2^{8})$ en déplaçant $8$ hors du logarithme.

$(5 x - 4) (\ln (625) - (8 \ln (2))) = \ln (1)$

Étape 2.5

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$(5 x - 4) (\ln (625) - 8 \ln (2)) = \ln (1)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $(5 x - 4) (\ln (625) - 8 \ln (2))$ .

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Étape 3.1.1

Développez $(5 x - 4) (\ln (625) - 8 \ln (2))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x (\ln (625) - 8 \ln (2)) - 4 (\ln (625) - 8 \ln (2)) = \ln (1)$

Étape 3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 x \ln (625) + 5 x (- 8 \ln (2)) - 4 (\ln (625) - 8 \ln (2)) = \ln (1)$

Étape 3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 x \ln (625) + 5 x (- 8 \ln (2)) - 4 \ln (625) - 4 (- 8 \ln (2)) = \ln (1)$

Étape 3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$5 x \ln (625) - 40 x \ln (2) - 4 \ln (625) - 4 (- 8 \ln (2)) = \ln (1)$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$5 x \ln (625) - 40 x \ln (2) - 4 \ln (625) + 32 \ln (2) = \ln (1)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$5 x \ln (625) - 40 x \ln (2) - 4 \ln (625) + 32 \ln (2) = 0$

Étape 5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1

Ajoutez $4 \ln (625)$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x \ln (625) - 40 x \ln (2) + 32 \ln (2) = 4 \ln (625)$

Étape 5.2

Soustrayez $32 \ln (2)$ des deux côtés de l’équation.

$5 x \ln (625) - 40 x \ln (2) = 4 \ln (625) - 32 \ln (2)$

Étape 6

Factorisez $5 x$ à partir de $5 x \ln (625) - 40 x \ln (2)$ .

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Étape 6.1

Factorisez $5 x$ à partir de $- 40 x \ln (2)$ .

$5 x \ln (625) + 5 x (- 8 \ln (2)) = 4 \ln (625) - 32 \ln (2)$

Étape 6.2

Factorisez $5 x$ à partir de $5 x \ln (625) + 5 x (- 8 \ln (2))$ .

$5 x (\ln (625) - 8 \ln (2)) = 4 \ln (625) - 32 \ln (2)$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $5 x (\ln (625) - 8 \ln (2)) = 4 \ln (625) - 32 \ln (2)$ par $5 (\ln (625) - 8 \ln (2))$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $5 x (\ln (625) - 8 \ln (2)) = 4 \ln (625) - 32 \ln (2)$ par $5 (\ln (625) - 8 \ln (2))$ .

$\frac{5 x (\ln (625) - 8 \ln (2))}{5 (\ln (625) - 8 \ln (2))} = \frac{4 \ln (625)}{5 (\ln (625) - 8 \ln (2))} + \frac{- 32 \ln (2)}{5 (\ln (625) - 8 \ln (2))}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x (\ln (625) - 8 \ln (2))}{5 (\ln (625) - 8 \ln (2))} = \frac{4 \ln (625)}{5 (\ln (625) - 8 \ln (2))} + \frac{- 32 \ln (2)}{5 (\ln (625) - 8 \ln (2))}$

Étape 7.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (\ln (625) - 8 \ln (2))}{\ln (625) - 8 \ln (2)} = \frac{4 \ln (625)}{5 (\ln (625) - 8 \ln (2))} + \frac{- 32 \ln (2)}{5 (\ln (625) - 8 \ln (2))}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (625) - 8 \ln (2)$ .

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (625) - 8 \ln (2))}{\ln (625) - 8 \ln (2)} = \frac{4 \ln (625)}{5 (\ln (625) - 8 \ln (2))} + \frac{- 32 \ln (2)}{5 (\ln (625) - 8 \ln (2))}$

Étape 7.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4 \ln (625)}{5 (\ln (625) - 8 \ln (2))} + \frac{- 32 \ln (2)}{5 (\ln (625) - 8 \ln (2))}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{4 \ln (625)}{5 (\ln (625) - 8 \ln (2))} - \frac{32 \ln (2)}{5 (\ln (625) - 8 \ln (2))}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{4 \ln (625)}{5 (\ln (625) - 8 \ln (2))} - \frac{32 \ln (2)}{5 (\ln (625) - 8 \ln (2))}$

Forme décimale :

$x = 0.8$