Algèbre Exemples

$\frac{x^{2}}{x - 3} = \frac{x + 2}{2 x - 5}$

Étape 1

Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction. Définissez une valeur égale au produit du dénominateur de la première fraction et du numérateur de la deuxième fraction.

$x^{2} (2 x - 5) = (x - 3) (x + 2)$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.1

Simplifiez $x^{2} (2 x - 5)$ .

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Étape 2.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + x^{2} (2 x - 5) = (x - 3) (x + 2)$

Étape 2.1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 5 = (x - 3) (x + 2)$

Étape 2.1.2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.1.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 5 = (x - 3) (x + 2)$

Étape 2.1.2.2.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 x^{2} x - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

Étape 2.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x^{2}) - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

Étape 2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x^{2}) - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

Étape 2.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{1 + 2} - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

Étape 2.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 x^{3} - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

$2 x^{3} - 5 x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

Étape 2.2

Simplifiez $(x - 3) (x + 2)$ .

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Étape 2.2.1

Développez $(x - 3) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x (x + 2) - 3 (x + 2)$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2)$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2$

Étape 2.2.2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x^{2} + 2 x - 3 x - 6$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $3 x$ de $2 x$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x^{2} - x - 6$

Étape 2.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - x^{2} = - x - 6$

Étape 2.3.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - x^{2} + x = - 6$

Étape 2.3.3

Soustrayez $x^{2}$ de $- 5 x^{2}$ .

$2 x^{3} - 6 x^{2} + x = - 6$

Étape 2.4

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6 = 0$

Étape 2.5

Factorisez $2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.5.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2.5.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Étape 2.5.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.5.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 2 + 6$

Étape 2.5.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 8 - 6 \cdot 2^{2} + 2 + 6$

Étape 2.5.3.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 - 6 \cdot 2^{2} + 2 + 6$

Étape 2.5.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$16 - 6 \cdot 4 + 2 + 6$

Étape 2.5.3.5

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$16 - 24 + 2 + 6$

Étape 2.5.3.6

Soustrayez $24$ de $16$ .

$- 8 + 2 + 6$

Étape 2.5.3.7

Additionnez $- 8$ et $2$ .

$- 6 + 6$

Étape 2.5.3.8

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$0$

Étape 2.5.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6}{x - 2}$

Étape 2.5.5

Divisez $2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6$ par $x - 2$ .

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Étape 2.5.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$6$

Étape 2.5.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$

Étape 2.5.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Étape 2.5.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - 4 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Étape 2.5.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 2.5.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Étape 2.5.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Étape 2.5.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 2.5.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} + 4 x$

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 2.5.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$

Étape 2.5.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$

Étape 2.5.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$

Étape 2.5.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	+	$6$

Étape 2.5.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x + 6$

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	-	$6$

Étape 2.5.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	-	$6$
										$0$

Étape 2.5.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} - 2 x - 3$

Étape 2.5.6

Écrivez $2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 2) (2 x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Étape 2.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$2 x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Étape 2.7

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.7.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.8

Définissez $2 x^{2} - 2 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.8.1

Définissez $2 x^{2} - 2 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Étape 2.8.2

Résolvez $2 x^{2} - 2 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.8.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.8.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 2$ et $c = - 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 3)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.8.2.3

Simplifiez

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Étape 2.8.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.8.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 3$ .

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Étape 2.8.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.8.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.8.2.3.1.3

Additionnez $4$ et $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.8.2.3.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 2.8.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.8.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.8.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.8.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{4}$

Étape 2.8.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.8.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (2 x^{2} - 2 x - 3) = 0$ vraie.

$x = 2, \frac{1 + \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 2, \frac{1 + \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$

Forme décimale :

$x = 2, 1.82287565 \dots, - 0.82287565 \dots$