Algèbre Exemples

$f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x - h)}^{2}$ comme $(x - h) (x - h)$ .

$f (x) = a ((x - h) (x - h)) + k$

Étape 1.2

Développez $(x - h) (x - h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = a (x (x - h) - h (x - h)) + k$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = a (x \cdot x + x (- h) - h (x - h)) + k$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = a (x \cdot x + x (- h) - h x - h (- h)) + k$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = a (x^{2} + x (- h) - h x - h (- h)) + k$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - h (- h)) + k$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 h \cdot h) + k$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $h$ par $h$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.4.1

Déplacez $h$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 (h \cdot h)) + k$

Étape 1.3.1.4.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 h^{2}) + k$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x + 1 h^{2}) + k$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $h^{2}$ par $1$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x + h^{2}) + k$

Étape 1.3.2

Soustrayez $h x$ de $- x h$ .

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Étape 1.3.2.1

Déplacez $x$ .

$f (x) = a (x^{2} - h x - h x + h^{2}) + k$

Étape 1.3.2.2

Soustrayez $h x$ de $- h x$ .

$f (x) = a (x^{2} - 2 h x + h^{2}) + k$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = a x^{2} + a (- 2 h x) + a h^{2} + k$

Étape 1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x) = a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k$

Étape 2

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k = f (x)$

Étape 3

Soustrayez $f (x)$ des deux côtés de l’équation.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k - f (x) = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = a$ , $b = - 2 a h$ et $c = a h^{2} + k - f (x)$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2 a h)}^{2} - 4 \cdot (a \cdot (a h^{2} + k - f (x)))}}{2 a}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2 (a h))}^{2} - 4 \cdot (a \cdot (a h^{2} + k - f (x)))}}{2 a}$

Étape 6.1.2

Laissez $u = a \cdot (a h^{2} + k - f (x))$ . Remplacez toutes les occurrences de $a \cdot (a h^{2} + k - f (x))$ par $u$ .

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Étape 6.1.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 a h$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2 a)}^{2} h^{2} - 4 \cdot u}}{2 a}$

Étape 6.1.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 2 a$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} a^{2} h^{2} - 4 \cdot u}}{2 a}$

Étape 6.1.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 4 u}}{2 a}$

Étape 6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 a^{2} h^{2} - 4 u$ .

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Étape 6.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 a^{2} h^{2}$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) - 4 u}}{2 a}$

Étape 6.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- u)}}{2 a}$

Étape 6.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - u)}}{2 a}$

Étape 6.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $a \cdot (a h^{2} + k - f (x))$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a \cdot (a h^{2} + k - f (x))))}}{2 a}$

Étape 6.1.5

Simplifiez

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Étape 6.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a (a h^{2}) + a k + a (- f (x))))}}{2 a}$

Étape 6.1.5.1.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.5.1.2.1

Déplacez $a$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a \cdot a h^{2} + a k + a (- f (x))))}}{2 a}$

Étape 6.1.5.1.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a^{2} h^{2} + a k + a (- f (x))))}}{2 a}$

Étape 6.1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a^{2} h^{2}) - (a k) - (a (- f (x))))}}{2 a}$

Étape 6.1.5.1.4

Multipliez $- (a (- f (x)))$ .

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Étape 6.1.5.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - a^{2} h^{2} - a k + 1 (a (f (x))))}}{2 a}$

Étape 6.1.5.1.4.2

Multipliez $a$ par $1$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - a^{2} h^{2} - a k + a f (x))}}{2 a}$

Étape 6.1.5.2

Soustrayez $a^{2} h^{2}$ de $a^{2} h^{2}$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (0 - a k + a f (x))}}{2 a}$

Étape 6.1.5.3

Soustrayez $a k$ de $0$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (- a k + a f (x))}}{2 a}$

Étape 6.1.6

Factorisez $a$ à partir de $- a k + a f (x)$ .

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Étape 6.1.6.1

Factorisez $a$ à partir de $- a k$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a (- 1 k) + a f (x))}}{2 a}$

Étape 6.1.6.2

Factorisez $a$ à partir de $a f (x)$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a (- 1 k) + a (f (x)))}}{2 a}$

Étape 6.1.6.3

Factorisez $a$ à partir de $a (- 1 k) + a (f (x))$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a (- 1 k + f (x)))}}{2 a}$

Étape 6.1.7

Réécrivez $- 1 k$ comme $- k$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 a (- k + f (x))}}{2 a}$

Étape 6.1.8

Réécrivez $4 a (- k + f (x))$ comme $2^{2} (a (- k + f (x)))$ .

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Étape 6.1.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{2^{2} a (- k + f (x))}}{2 a}$

Étape 6.1.8.2

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{2^{2} (a (- k + f (x)))}}{2 a}$

Étape 6.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 a h \pm 2 \sqrt{a (- k + f (x))}}{2 a}$

Étape 6.2

Simplifiez $\frac{2 a h \pm 2 \sqrt{a (- k + f (x))}}{2 a}$ .

$x = \frac{a h \pm \sqrt{a (- k + f (x))}}{a}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{a h + \sqrt{a (- k + f (x))}}{a}, \frac{a h - \sqrt{a (- k + f (x))}}{a}$