Algèbre Exemples

$- 3 + 3 x^{5}$

Étape 1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 + 3 x^{5}$ .

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Étape 1.1

Remettez dans l’ordre $- 3$ et $3 x^{5}$ .

$3 x^{5} - 3$

Étape 1.2

Factorisez $- 3$ à partir de $3 x^{5}$ .

$- 3 (- x^{5}) - 3$

Étape 1.3

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3$ .

$- 3 (- x^{5}) - 3 (1)$

Étape 1.4

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (- x^{5}) - 3 (1)$ .

$- 3 (- x^{5} + 1)$

Étape 2

Factorisez.

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Étape 2.1

Factorisez $- x^{5} + 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1$

Étape 2.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$- 1^{5} + 1$

Étape 2.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $5$ .

$- 1 \cdot 1 + 1$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + 1$

Étape 2.1.3.4

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0$

Étape 2.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{5} + 1}{x - 1}$

Étape 2.1.5

Divisez $- x^{5} + 1$ par $x - 1$ .

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Étape 2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{5}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

Étape 2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{5} + x^{4}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

Étape 2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

Étape 2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

Étape 2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

Étape 2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{4} + x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Étape 2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{3} + x^{2}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Étape 2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Étape 2.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

Étape 2.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

Étape 2.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

Étape 2.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} + x$

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

Étape 2.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

Étape 2.1.5.21

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$1$

Étape 2.1.5.22

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$1$

Étape 2.1.5.23

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

Étape 2.1.5.24

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x + 1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

Étape 2.1.5.25

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$0$

Étape 2.1.5.26

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{4} - x^{3} - x^{2} - x - 1$

Étape 2.1.6

Écrivez $- x^{5} + 1$ comme un ensemble de facteurs.

$- 3 ((x - 1) (- x^{4} - x^{3} - x^{2} - x - 1))$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 (x - 1) (- x^{4} - x^{3} - x^{2} - x - 1)$

Étape 3

Factorisez.

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Étape 3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{4} - x^{3} - x^{2} - x - 1$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{4}$ .

$- 3 (x - 1) (- (x^{4}) - x^{3} - x^{2} - x - 1)$

Étape 3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$- 3 (x - 1) (- (x^{4}) - (x^{3}) - x^{2} - x - 1)$

Étape 3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- 3 (x - 1) (- (x^{4}) - (x^{3}) - (x^{2}) - x - 1)$

Étape 3.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- 3 (x - 1) (- (x^{4}) - (x^{3}) - (x^{2}) - (x) - 1)$

Étape 3.1.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- 3 (x - 1) (- (x^{4}) - (x^{3}) - (x^{2}) - (x) - 1 (1))$

Étape 3.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4}) - (x^{3})$ .

$- 3 (x - 1) (- (x^{4} + x^{3}) - (x^{2}) - (x) - 1 (1))$

Étape 3.1.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4} + x^{3}) - (x^{2})$ .

$- 3 (x - 1) (- (x^{4} + x^{3} + x^{2}) - (x) - 1 (1))$

Étape 3.1.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4} + x^{3} + x^{2}) - (x)$ .

$- 3 (x - 1) (- (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x) - 1 (1))$

Étape 3.1.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x) - 1 (1)$ .

$- 3 (x - 1) (- (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1))$

Étape 3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 (x - 1) \cdot - 1 (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)$

Étape 4

Associez les exposants.

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Étape 4.1

Factorisez le signe négatif.

$- (- 3 (x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1))$

Étape 4.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$3 ((x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1))$

Étape 5

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)$