Algèbre Exemples

$\frac{(x + 12) (x - 4)}{x - 1} \geq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 12 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 12$

Étape 3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 12$

$x = 4$

$x = 1$

Étape 6

Consolidez les solutions.

$x = - 12, 4, 1$

Étape 7

Déterminez le domaine de $\frac{(x + 12) (x - 4)}{x - 1}$ .

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x + 12) (x - 4)}{x - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 1 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 12$

$- 12 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 12$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 12$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 14$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 14$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((- 14) + 12) ((- 14) - 4)}{(- 14) - 1} \geq 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $- 2.4$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 12 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 12 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((0) + 12) ((0) - 4)}{(0) - 1} \geq 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $48$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((2) + 12) ((2) - 4)}{(2) - 1} \geq 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $- 28$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 9.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((6) + 12) ((6) - 4)}{(6) - 1} \geq 0$

Étape 9.4.3

Le côté gauche $7.2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 12$ Faux

$- 12 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

$x < - 12$ Faux

$- 12 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 12 \leq x < 1$ ou $x \geq 4$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 12 \leq x < 1 or x \geq 4$

Notation d’intervalle :

$[- 12, 1) \cup [4, \infty)$

Étape 12