Algèbre Exemples

$\frac{\tan^{2} (θ) \csc^{2} (θ) - 1}{\sec^{2} (θ)}$

Étape 1

Réécrivez $\tan^{2} (θ) \csc^{2} (θ)$ comme ${(\tan (θ) \csc (θ))}^{2}$ .

$\frac{{(\tan (θ) \csc (θ))}^{2} - 1}{\sec^{2} (θ)}$

Étape 2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{(\tan (θ) \csc (θ))}^{2} - 1^{2}}{\sec^{2} (θ)}$

Étape 3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \tan (θ) \csc (θ)$ et $b = 1$ .

$\frac{(\tan (θ) \csc (θ) + 1) (\tan (θ) \csc (θ) - 1)}{\sec^{2} (θ)}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $\tan (θ) \csc (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + 1) (\tan (θ) \csc (θ) - 1)}{\sec^{2} (θ)}$

Étape 4.1.2

Annulez les facteurs communs.

$\frac{(\frac{1}{\cos (θ)} + 1) (\tan (θ) \csc (θ) - 1)}{\sec^{2} (θ)}$

Étape 4.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (θ)}$ à $\sec (θ)$ .

$\frac{(\sec (θ) + 1) (\tan (θ) \csc (θ) - 1)}{\sec^{2} (θ)}$

Étape 4.3

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $\tan (θ) \csc (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{(\sec (θ) + 1) (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} - 1)}{\sec^{2} (θ)}$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

$\frac{(\sec (θ) + 1) (\frac{1}{\cos (θ)} - 1)}{\sec^{2} (θ)}$

Étape 4.4

Convertissez de $\frac{1}{\cos (θ)}$ à $\sec (θ)$ .

$\frac{(\sec (θ) + 1) (\sec (θ) - 1)}{\sec^{2} (θ)}$