Algèbre Exemples

$2 x^{2} + 6 x + 3$

Étape 1

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{6}{2 (2)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{6}{2 (2)}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 (2)}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 3

Évaluez $f (- \frac{3}{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3}{2}) = 2 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 2 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2^{2}}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{4}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2 (2)}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2 \cdot 2}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 6 (\frac{- 3}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 2 (3) (\frac{- 3}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2})) + 3$

Étape 3.2.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 3 \cdot - 3 + 3$

Étape 3.2.1.8

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} - 9 + 3$

Étape 3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.2.1

Écrivez $- 9$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9}{1} + 3$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{- 9}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{2}{2} + 3$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $\frac{- 9}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + 3$

Étape 3.2.2.4

Écrivez $3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1}$

Étape 3.2.2.5

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.2.2.6

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 + 6}{2}$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.5.1

Soustrayez $18$ de $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 6}{2}$

Étape 3.2.5.2

Additionnez $- 9$ et $6$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{3}{2}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(- \frac{3}{2}, - \frac{3}{2})$

Étape 5