Algèbre Exemples

$- 16 t^{2} + 84 t$

Étape 1

Le maximum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est négatif, la valeur maximale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $t = a t^{2} + b t + c$ se produit sur $t = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $t = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$t = - \frac{84}{2 (- 16)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$t = - \frac{84}{2 (- 16)}$

Étape 2.3

Simplifiez $- \frac{84}{2 (- 16)}$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun à $84$ et $2$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $84$ .

$t = - \frac{2 \cdot 42}{2 \cdot - 16}$

Étape 2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 16$ .

$t = - \frac{2 \cdot 42}{2 (- 16)}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$t = - \frac{2 \cdot 42}{2 \cdot - 16}$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$t = - \frac{42}{- 16}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun à $42$ et $- 16$ .

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $42$ .

$t = - \frac{2 (21)}{- 16}$

Étape 2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 16$ .

$t = - \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot - 8}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$t = - \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot - 8}$

Étape 2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$t = - \frac{21}{- 8}$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - - \frac{21}{8}$

Étape 2.3.4

Multipliez $- - \frac{21}{8}$ .

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Étape 2.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$t = 1 (\frac{21}{8})$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $\frac{21}{8}$ par $1$ .

$t = \frac{21}{8}$

Étape 3

Évaluez $f (\frac{21}{8})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $t$ par $\frac{21}{8}$ dans l’expression.

$f (\frac{21}{8}) = - 16 {(\frac{21}{8})}^{2} + 84 (\frac{21}{8})$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{21}{8}$ .

$f (\frac{21}{8}) = - 16 \frac{21^{2}}{8^{2}} + 84 (\frac{21}{8})$

Étape 3.2.1.2

Élevez $21$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{21}{8}) = - 16 \frac{441}{8^{2}} + 84 (\frac{21}{8})$

Étape 3.2.1.3

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{21}{8}) = - 16 (\frac{441}{64}) + 84 (\frac{21}{8})$

Étape 3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $- 16$ .

$f (\frac{21}{8}) = 16 (- 1) (\frac{441}{64}) + 84 (\frac{21}{8})$

Étape 3.2.1.4.2

Factorisez $16$ à partir de $64$ .

$f (\frac{21}{8}) = 16 \cdot (- 1 \frac{441}{16 \cdot 4}) + 84 (\frac{21}{8})$

Étape 3.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{21}{8}) = 16 \cdot (- 1 \frac{441}{16 \cdot 4}) + 84 (\frac{21}{8})$

Étape 3.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{21}{8}) = - 1 (\frac{441}{4}) + 84 (\frac{21}{8})$

Étape 3.2.1.5

Réécrivez $- 1 (\frac{441}{4})$ comme $- (\frac{441}{4})$ .

$f (\frac{21}{8}) = - (\frac{441}{4}) + 84 (\frac{21}{8})$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $84$ .

$f (\frac{21}{8}) = - \frac{441}{4} + 4 (21) (\frac{21}{8})$

Étape 3.2.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (\frac{21}{8}) = - \frac{441}{4} + 4 \cdot (21 (\frac{21}{4 \cdot 2}))$

Étape 3.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{21}{8}) = - \frac{441}{4} + 4 \cdot (21 (\frac{21}{4 \cdot 2}))$

Étape 3.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{21}{8}) = - \frac{441}{4} + 21 (\frac{21}{2})$

Étape 3.2.1.7

Associez $21$ et $\frac{21}{2}$ .

$f (\frac{21}{8}) = - \frac{441}{4} + \frac{21 \cdot 21}{2}$

Étape 3.2.1.8

Multipliez $21$ par $21$ .

$f (\frac{21}{8}) = - \frac{441}{4} + \frac{441}{2}$

Étape 3.2.2

Pour écrire $\frac{441}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{21}{8}) = - \frac{441}{4} + \frac{441}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $\frac{441}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{21}{8}) = - \frac{441}{4} + \frac{441 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{21}{8}) = - \frac{441}{4} + \frac{441 \cdot 2}{4}$

Étape 3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{21}{8}) = \frac{- 441 + 441 \cdot 2}{4}$

Étape 3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $441$ par $2$ .

$f (\frac{21}{8}) = \frac{- 441 + 882}{4}$

Étape 3.2.5.2

Additionnez $- 441$ et $882$ .

$f (\frac{21}{8}) = \frac{441}{4}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $\frac{441}{4}$ .

$\frac{441}{4}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le maximum.

$(\frac{21}{8}, \frac{441}{4})$

Étape 5