Algèbre Exemples

$\frac{2 x}{3} + {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2 x}{3} + {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)$

Étape 1.3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)$

Étape 1.3.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)$

Étape 1.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)$

Étape 1.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)$

Étape 1.3.8.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)$

Étape 1.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)$

Étape 1.3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1$

Étape 1.3.11

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1$

Étape 1.3.12

Multipliez $\frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ par $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.3.13

Placez ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.1.2

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ comme ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}}))$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 1)))$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)))$

Étape 2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)))$

Étape 2.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))))$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (1)))))$

Étape 2.2.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))))$

Étape 2.2.8

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))))$

Étape 2.2.8.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))))$

Étape 2.2.8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))))$

Étape 2.2.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))))$

Étape 2.2.10

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))))$

Étape 2.2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))))$

Étape 2.2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.12.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0))))$

Étape 2.2.12.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0))))$

Étape 2.2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0))))$

Étape 2.2.14

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1))$

Étape 2.2.15

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1))$

Étape 2.2.16

Multipliez $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 2.2.17

Placez ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.2.18

Associez $\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ et ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.2.19

Placez ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.2.20

Multipliez ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.20.1

Déplacez ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x + 1)}^{\frac{2}{3}})})$

Étape 2.2.20.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}})$

Étape 2.2.20.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}})$

Étape 2.2.20.4

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}})$

Étape 2.2.21

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.22

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{9 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.3

Soustrayez $\frac{2}{9 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2 x}{3} + {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3}) + \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 4.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

Étape 4.1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Étape 4.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Étape 4.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (1)))$

Étape 4.1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Étape 4.1.3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Étape 4.1.3.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Étape 4.1.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Étape 4.1.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.3.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

Étape 4.1.3.8.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

Étape 4.1.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

Étape 4.1.3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1$

Étape 4.1.3.11

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1$

Étape 4.1.3.12

Multipliez $\frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 4.1.3.13

Placez ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $\frac{2}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = - \frac{2}{3}$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}, 3$

Étape 5.3.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 5.3.3

$3$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $3$ .

$3$ est un nombre premier

Étape 5.3.4

Le plus petit multiple commun de $3, 3$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$3$

Étape 5.3.5

Le facteur pour $x + 1$ est $x + 1$ lui-même.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 5.3.6

Le plus petit multiple commun de ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.7

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = - \frac{2}{3}$ par $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = - \frac{2}{3}$ par $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.4.2.3

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$2 = \frac{- 2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.4.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$2 = \frac{- 2}{3} (3 ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}}))$

Étape 5.4.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 = \frac{- 2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.4.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$2 = - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Étape 5.5.2.2.2

Divisez ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 2}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.3.1

Divisez $2$ par $- 2$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - 1$

Étape 5.5.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 5.5.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.1.1

Simplifiez ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 5.5.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 5.5.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 5.5.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 1)}^{1} = {(- 1)}^{3}$

Étape 5.5.4.1.1.2

Simplifiez

$x + 1 = {(- 1)}^{3}$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$x + 1 = - 1$

Étape 5.5.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1 - 1$

Étape 5.5.5.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$x = - 2$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x + 1)}^{1}}}$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 \sqrt[3]{x + 1}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x + 1}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x + 1} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x + 1})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 {(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 {(x + 1)}^{1} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.4

Simplifiez

$27 (x + 1) = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$27 x + 27 \cdot 1 = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.6

Multipliez $27$ par $1$ .

$27 x + 27 = 0^{3}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 x + 27 = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Soustrayez $27$ des deux côtés de l’équation.

$27 x = - 27$

Étape 6.3.3.2

Divisez chaque terme dans $27 x = - 27$ par $27$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $27 x = - 27$ par $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{- 27}{27}$

Étape 6.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x}{27} = \frac{- 27}{27}$

Étape 6.3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 27}{27}$

Étape 6.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.3.1

Divisez $- 27$ par $27$ .

$x = - 1$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 2, - 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2}{9 {((- 2) + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$- \frac{2}{9 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{2}{9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 9.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 9.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2}{9 {(- 1)}^{4}}$

Étape 9.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 1}$

Étape 9.2

Multipliez $9$ par $1$ .

$- \frac{2}{9}$

Étape 10

$x = - 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \frac{2 (- 2)}{3} + {((- 2) + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 4}{3} + {((- 2) + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {((- 2) + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.2.3

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 11.2.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 11.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {(- 1)}^{2}$

Étape 11.2.2.6

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + 1$

Étape 11.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

Étape 11.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 2) = \frac{- 4 + 3}{3}$

Étape 11.2.3.3

Additionnez $- 4$ et $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 1}{3}$

Étape 11.2.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = - \frac{1}{3}$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $- \frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2}{9 {((- 1) + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.2

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 13.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{4}}$

Étape 13.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

Étape 13.3.2

Multipliez $9$ par $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Étape 13.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{2}{0}$

Étape 13.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 14

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 14.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée première $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {((- 4) + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.1

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$f' (- 4) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.2.2.2

La réponse finale est $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 1.5$ , de l’intervalle $(- 2, - 1)$ dans la dérivée première $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.5$ dans l’expression.

$f' (- 1.5) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {((- 1.5) + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.2.1

Additionnez $- 1.5$ et $1$ .

$f' (- 1.5) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.3.2.2

La réponse finale est $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.4

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- 1, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {((0) + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.1.1.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$f' (0) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.4.2.1.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (0) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 \cdot 1}$

Étape 14.4.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (0) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 14.4.2.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (0) = \frac{2 + 2}{3}$

Étape 14.4.2.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f' (0) = \frac{4}{3}$

Étape 14.4.2.3

La réponse finale est $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Étape 14.5

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - 2$ , $x = - 2$ est un maximum local.

$x = - 2$ est un maximum local

Étape 14.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - 1$ , $x = - 1$ est un minimum local.

$x = - 1$ est un minimum local

Étape 14.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{2 x}{3} + {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - 2$ est un maximum local

$x = - 1$ est un minimum local

$x = - 2$ est un maximum local

$x = - 1$ est un minimum local

Étape 15