Algèbre Exemples

$- \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} + 3$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot ((x - 1) (x - 1)) + 3$

Étape 1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + 3$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + 3$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 3$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 3$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 3$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 3$

Étape 1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + 3$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - x - x + 1) + 3$

Étape 1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 2 x + 1) + 3$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot (- 2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot (- 2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (- 2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Étape 1.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Étape 1.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} - 1 (- x) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Étape 1.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + 1 x - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Étape 1.5.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Étape 1.5.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{1}{2} + 3$

Étape 2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{- 1 + 6}{2}$

Étape 5.2

Additionnez $- 1$ et $6$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{5}{2}$

Étape 6

Le maximum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est négatif, la valeur maximale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 7

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 7.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{1}{2 (- 0.5)}$

Étape 7.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{1}{2 (- 0.5)}$

Étape 7.3

Simplifiez $- \frac{1}{2 (- 0.5)}$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $2$ par $- 0.5$ .

$x = - \frac{1}{- 1}$

Étape 7.3.2

Divisez $1$ par $- 1$ .

$x = - - 1$

Étape 7.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 8

Évaluez $f (1)$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} + 1 + \frac{5}{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Associez les fractions.

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Étape 8.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} + 1 + \frac{5}{2}$

Étape 8.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (1) = 1 + \frac{- {(1)}^{2} + 5}{2}$

Étape 8.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 + \frac{- 1 \cdot 1 + 5}{2}$

Étape 8.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = 1 + \frac{- 1 + 5}{2}$

Étape 8.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.3.1

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$f (1) = 1 + \frac{4}{2}$

Étape 8.2.3.2

Divisez $4$ par $2$ .

$f (1) = 1 + 2$

Étape 8.2.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (1) = 3$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 9

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le maximum.

$(1, 3)$

Étape 10