Algèbre Exemples

$0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $0.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $0.5$ .

$1 x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Étape 1.2.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [23 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $23$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $23 x$ par rapport à $x$ est $23 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x + 23 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $23$ par $1$ .

$x + 23 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Étape 1.4

Comme $- 216$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 216$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $2600$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2600}{x}$ par rapport à $x$ est $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.5.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

Étape 1.5.4

Multipliez $- 1$ par $2600$ .

$x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.6.2

Associez des termes.

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Étape 1.6.2.1

Additionnez $x + 23$ et $0$ .

$x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.6.2.2

Associez $- 2600$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

Étape 1.6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

Étape 1.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [23]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2600$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2600}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (23)$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (23)$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (23)$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Étape 2.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (23)$

Étape 2.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (23)$

Étape 2.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (23)$

Étape 2.2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (23)$

Étape 2.2.10

Multipliez $- 2$ par $- 2600$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (23)$

Étape 2.3

Comme $23$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $23$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $5200$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}} + 0$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $1 + \frac{5200}{x^{3}}$ et $0$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{5200}{x^{3}} + 1$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (0.5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $0.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0.5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $0.5$ .

$f' (x) = 1 x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$f' (x) = x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [23 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $23$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $23 x$ par rapport à $x$ est $23 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x + 23 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $23$ par $1$ .

$f' (x) = x + 23 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Étape 4.1.4

Comme $- 216$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 216$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Étape 4.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

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Étape 4.1.5.1

Comme $2600$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2600}{x}$ par rapport à $x$ est $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Étape 4.1.5.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Étape 4.1.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

Étape 4.1.5.4

Multipliez $- 1$ par $2600$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

Étape 4.1.6

Simplifiez

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Étape 4.1.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4.1.6.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.6.2.1

Additionnez $x + 23$ et $0$ .

$f' (x) = x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4.1.6.2.2

Associez $- 2600$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

Étape 4.1.6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

Étape 4.1.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ .

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

Étape 5.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx 9.01216529$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2600}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 9.01216529$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 9.01216529$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{5200}{{(9.01216529)}^{3}} + 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $9.01216529$ à la puissance $3$ .

$\frac{5200}{731.96016423} + 1$

Étape 9.1.2

Divisez $5200$ par $731.96016423$ .

$7.10421175 + 1$

Étape 9.2

Additionnez $7.10421175$ et $1$ .

$8.10421175$

Étape 10

$x = 9.01216529$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 9.01216529$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 9.01216529$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $9.01216529$ dans l’expression.

$f (9.01216529) = 0.5 {(9.01216529)}^{2} + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Élevez $9.01216529$ à la puissance $2$ .

$f (9.01216529) = 0.5 \cdot 81.21912329 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $0.5$ par $81.21912329$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $23$ par $9.01216529$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Étape 11.2.1.4

Divisez $2600$ par $9.01216529$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + 288.49892506$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $40.60956164$ et $207.27980177$ .

$f (9.01216529) = 247.88936342 - 216 + 288.49892506$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $216$ de $247.88936342$ .

$f (9.01216529) = 31.88936342 + 288.49892506$

Étape 11.2.2.3

Additionnez $31.88936342$ et $288.49892506$ .

$f (9.01216529) = 320.38828848$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $320.38828848$ .

$y = 320.38828848$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ .

$(9.01216529, 320.38828848)$ est un minimum local

Étape 13