Algèbre Exemples

$x^{3} - 4 x^{2} + 4$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 4 x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 8 x + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $3 x^{2} - 8 x$ et $0$ .

$3 x^{2} - 8 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 8 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 8 \frac{d}{d x} x$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 8 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 8$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 8 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 4 x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 8 x + 0$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $3 x^{2} - 8 x$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 8 x$ .

$3 x^{2} - 8 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 8 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 8 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} - 8 x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$x (3 x) - 8 x = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 8 x$ .

$x (3 x) + x \cdot - 8 = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x) + x \cdot - 8$ .

$x (3 x - 8) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$3 x - 8 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $3 x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $3 x - 8$ égal à $0$ .

$3 x - 8 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $3 x - 8 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 8$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 8$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 8$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{8}{3}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (3 x - 8) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{8}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, \frac{8}{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (0) - 8$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 - 8$

Étape 9.2

Soustrayez $8$ de $0$ .

$- 8$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} + 4$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2} + 4$

Étape 11.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 4$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 4$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 4$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$f (0) = 4$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $4$ .

$y = 4$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{8}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (\frac{8}{3}) - 8$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{8}{3} - 8$

Étape 13.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{8}{3} - 8$

Étape 13.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 8 - 8$

Étape 13.1.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 - 8$

Étape 13.2

Soustrayez $8$ de $16$ .

$8$

Étape 14

$x = \frac{8}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{8}{3}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{8}{3}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{8}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2} + 4$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2} + 4$

Étape 15.2.1.2

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2} + 4$

Étape 15.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2} + 4$

Étape 15.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{8^{2}}{3^{2}} + 4$

Étape 15.2.1.5

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{64}{3^{2}} + 4$

Étape 15.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 (\frac{64}{9}) + 4$

Étape 15.2.1.7

Multipliez $- 4 (\frac{64}{9})$ .

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Étape 15.2.1.7.1

Associez $- 4$ et $\frac{64}{9}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 4 \cdot 64}{9} + 4$

Étape 15.2.1.7.2

Multipliez $- 4$ par $64$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 256}{9} + 4$

Étape 15.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9} + 4$

Étape 15.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 15.2.2.1

Multipliez $\frac{256}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - (\frac{256}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 4$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $\frac{256}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 4$

Étape 15.2.2.3

Écrivez $4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{4}{1}$

Étape 15.2.2.4

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 15.2.2.5

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.2.7

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{27} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 256 \cdot 3 + 4 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.4.1

Multipliez $- 256$ par $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 768 + 4 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $4$ par $27$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 768 + 108}{27}$

Étape 15.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.5.1

Soustrayez $768$ de $512$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 256 + 108}{27}$

Étape 15.2.5.2

Additionnez $- 256$ et $108$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 148}{27}$

Étape 15.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{8}{3}) = - \frac{148}{27}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $- \frac{148}{27}$ .

$y = - \frac{148}{27}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 4$ .

$(0, 4)$ est un maximum local

$(\frac{8}{3}, - \frac{148}{27})$ est un minimum local

Étape 17