Algèbre Exemples

$x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$3 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 8 x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 8 x - 2 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$3 x^{2} + 8 x - 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 8 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.3.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 8 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 8 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $6 x + 8$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 8$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} + 8 x - 2 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$3 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 8 x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 8 x - 2 \cdot 1$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 8 x - 2$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 8 x - 2$ .

$3 x^{2} + 8 x - 2$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 8 x - 2 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} + 8 x - 2 = 0$

Étape 5.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.3

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = 8$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 2)}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 24}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.1.3

Additionnez $64$ et $24$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.1.4

Réécrivez $88$ comme $2^{2} \cdot 22$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $88$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$

Étape 5.4.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{22}}{3}$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 24}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.1.3

Additionnez $64$ et $24$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.1.4

Réécrivez $88$ comme $2^{2} \cdot 22$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $88$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$

Étape 5.5.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{22}}{3}$

Étape 5.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 4 + \sqrt{22}}{3}$

Étape 5.5.5

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 + \sqrt{22}}{3}$

Étape 5.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{22}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - 1 (- \sqrt{22})}{3}$

Étape 5.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (4) - 1 (- \sqrt{22})$ .

$x = \frac{- 1 (4 - \sqrt{22})}{3}$

Étape 5.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 24}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.3

Additionnez $64$ et $24$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.4

Réécrivez $88$ comme $2^{2} \cdot 22$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $88$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$

Étape 5.6.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{22}}{3}$

Étape 5.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 4 - \sqrt{22}}{3}$

Étape 5.6.5

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - \sqrt{22}}{3}$

Étape 5.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{22}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - (\sqrt{22})}{3}$

Étape 5.6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (4) - (\sqrt{22})$ .

$x = \frac{- 1 (4 + \sqrt{22})}{3}$

Étape 5.6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$

Étape 5.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}, - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}, - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) + 8$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ dans le numérateur.

$6 \frac{- (4 - \sqrt{22})}{3} + 8$

Étape 9.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{- (4 - \sqrt{22})}{3} + 8$

Étape 9.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{- (4 - \sqrt{22})}{3} + 8$

Étape 9.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$2 (- (4 - \sqrt{22})) + 8$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (4 - \sqrt{22}) + 8$

Étape 9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 4 - 2 (- \sqrt{22}) + 8$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- 8 - 2 (- \sqrt{22}) + 8$

Étape 9.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 8 + 2 \sqrt{22} + 8$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$0 + 2 \sqrt{22}$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $2 \sqrt{22}$ .

$2 \sqrt{22}$

Étape 10

$x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{3} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{3} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(4 - \sqrt{22})}^{3}}{3^{3}}) + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{{(4 - \sqrt{22})}^{3}}{3^{3}} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{{(4 - \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.4

Utilisez le théorème du binôme.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{4^{3} + 3 \cdot (4^{2} (- \sqrt{22})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{22})}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.5.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 3 \cdot (4^{2} (- \sqrt{22})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{22})}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 3 \cdot (16 (- \sqrt{22})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{22})}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 (- \sqrt{22}) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{22})}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.4

Multipliez $- 1$ par $48$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{22})}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.5

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 {(- \sqrt{22})}^{2} + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{22}}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 (1 {\sqrt{22}}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.8

Multipliez ${\sqrt{22}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 {\sqrt{22}}^{2} + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.9

Réécrivez ${\sqrt{22}}^{2}$ comme $22$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.5.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{22}$ comme $22^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 {(22^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.5.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22 + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.9.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22 + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.10

Multipliez $12$ par $22$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.11

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.13

Réécrivez ${\sqrt{22}}^{3}$ comme $\sqrt{22^{3}}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - \sqrt{22^{3}}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.14

Élevez $22$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - \sqrt{10648}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.15

Réécrivez $10648$ comme $22^{2} \cdot 22$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.5.15.1

Factorisez $484$ à partir de $10648$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - \sqrt{484 (22)}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.15.2

Réécrivez $484$ comme $22^{2}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - \sqrt{22^{2} \cdot 22}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - (22 \sqrt{22})}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.5.17

Multipliez $22$ par $- 1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - 22 \sqrt{22}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.6

Additionnez $64$ et $264$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 48 \sqrt{22} - 22 \sqrt{22}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.7

Soustrayez $22 \sqrt{22}$ de $- 48 \sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(4 - \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}})) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (1 (\frac{{(4 - \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}})) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.10

Multipliez $\frac{{(4 - \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{{(4 - \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{{(4 - \sqrt{22})}^{2}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.12

Réécrivez ${(4 - \sqrt{22})}^{2}$ comme $(4 - \sqrt{22}) (4 - \sqrt{22})$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{(4 - \sqrt{22}) (4 - \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.13

Développez $(4 - \sqrt{22}) (4 - \sqrt{22})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{4 (4 - \sqrt{22}) - \sqrt{22} (4 - \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{22}) - \sqrt{22} (4 - \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.13.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{22}) - \sqrt{22} \cdot 4 - \sqrt{22} (- \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.14

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.14.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.14.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 (- \sqrt{22}) - \sqrt{22} \cdot 4 - \sqrt{22} (- \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.14.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - \sqrt{22} \cdot 4 - \sqrt{22} (- \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.14.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} - \sqrt{22} (- \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.14.1.4

Multipliez $- \sqrt{22} (- \sqrt{22})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.14.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + 1 \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.14.1.4.2

Multipliez $\sqrt{22}$ par $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.14.1.4.3

Élevez $\sqrt{22}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.14.1.4.4

Élevez $\sqrt{22}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.14.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + {\sqrt{22}}^{1 + 1}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.14.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + {\sqrt{22}}^{2}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.14.1.5

Réécrivez ${\sqrt{22}}^{2}$ comme $22$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.14.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{22}$ comme $22^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + {(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.14.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + 22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.14.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + 22^{\frac{2}{2}}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.14.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.14.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + 22^{\frac{2}{2}}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.14.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + 22}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.14.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + 22}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.14.2

Additionnez $16$ et $22$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{38 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.14.3

Soustrayez $4 \sqrt{22}$ de $- 4 \sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{38 - 8 \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.15

Associez $4$ et $\frac{38 - 8 \sqrt{22}}{9}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22})}{9} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.16

Multipliez $- 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.16.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22})}{9} + 2 (\frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Étape 11.2.1.16.2

Associez $2$ et $\frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22})}{9} + \frac{2 (4 - \sqrt{22})}{3}$

Étape 11.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Multipliez $\frac{4 (38 - 8 \sqrt{22})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22})}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 (4 - \sqrt{22})}{3}$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $\frac{4 (38 - 8 \sqrt{22})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 (4 - \sqrt{22})}{3}$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $\frac{2 (4 - \sqrt{22})}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 (4 - \sqrt{22})}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 11.2.2.4

Multipliez $\frac{2 (4 - \sqrt{22})}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 11.2.2.5

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 11.2.2.6

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{27} + \frac{2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 11.2.2.7

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{27} + \frac{2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- (328 - 70 \sqrt{22}) + 4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 11.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 328 - (- 70 \sqrt{22}) + 4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $328$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - (- 70 \sqrt{22}) + 4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 11.2.4.3

Multipliez $- 70$ par $- 1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 11.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + (4 \cdot 38 + 4 (- 8 \sqrt{22})) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 11.2.4.5

Multipliez $4$ par $38$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + (152 + 4 (- 8 \sqrt{22})) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 11.2.4.6

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + (152 - 32 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 11.2.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 152 \cdot 3 - 32 \sqrt{22} \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 11.2.4.8

Multipliez $152$ par $3$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 32 \sqrt{22} \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 11.2.4.9

Multipliez $3$ par $- 32$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 11.2.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + (2 \cdot 4 + 2 (- \sqrt{22})) \cdot 9}{27}$

Étape 11.2.4.11

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + (8 + 2 (- \sqrt{22})) \cdot 9}{27}$

Étape 11.2.4.12

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + (8 - 2 \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 11.2.4.13

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + 8 \cdot 9 - 2 \sqrt{22} \cdot 9}{27}$

Étape 11.2.4.14

Multipliez $8$ par $9$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + 72 - 2 \sqrt{22} \cdot 9}{27}$

Étape 11.2.4.15

Multipliez $9$ par $- 2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + 72 - 18 \sqrt{22}}{27}$

Étape 11.2.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.5.1

Additionnez $- 328$ et $456$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{128 + 70 \sqrt{22} - 96 \sqrt{22} + 72 - 18 \sqrt{22}}{27}$

Étape 11.2.5.2

Additionnez $128$ et $72$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{200 + 70 \sqrt{22} - 96 \sqrt{22} - 18 \sqrt{22}}{27}$

Étape 11.2.5.3

Soustrayez $96 \sqrt{22}$ de $70 \sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{200 - 26 \sqrt{22} - 18 \sqrt{22}}{27}$

Étape 11.2.5.4

Soustrayez $18 \sqrt{22}$ de $- 26 \sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{200 - 44 \sqrt{22}}{27}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $\frac{200 - 44 \sqrt{22}}{27}$ .

$y = \frac{200 - 44 \sqrt{22}}{27}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) + 8$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ dans le numérateur.

$6 \frac{- (4 + \sqrt{22})}{3} + 8$

Étape 13.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{- (4 + \sqrt{22})}{3} + 8$

Étape 13.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{- (4 + \sqrt{22})}{3} + 8$

Étape 13.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$2 (- (4 + \sqrt{22})) + 8$

Étape 13.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (4 + \sqrt{22}) + 8$

Étape 13.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 4 - 2 \sqrt{22} + 8$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- 8 - 2 \sqrt{22} + 8$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$0 - 2 \sqrt{22}$

Étape 13.2.2

Soustrayez $2 \sqrt{22}$ de $0$ .

$- 2 \sqrt{22}$

Étape 14

$x = - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{3} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{3} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(4 + \sqrt{22})}^{3}}{3^{3}}) + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{{(4 + \sqrt{22})}^{3}}{3^{3}} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{{(4 + \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.4

Utilisez le théorème du binôme.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{4^{3} + 3 \cdot (4^{2} \sqrt{22}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{22}}^{2}) + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.5.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 3 \cdot (4^{2} \sqrt{22}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{22}}^{2}) + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.5.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 3 \cdot (16 \sqrt{22}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{22}}^{2}) + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.5.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 3 \cdot (4 {\sqrt{22}}^{2}) + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.5.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 {\sqrt{22}}^{2} + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.5.5

Réécrivez ${\sqrt{22}}^{2}$ comme $22$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.5.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{22}$ comme $22^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 {(22^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.5.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.5.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.5.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.5.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.5.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22 + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.5.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22 + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.5.6

Multipliez $12$ par $22$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 264 + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.5.7

Réécrivez ${\sqrt{22}}^{3}$ comme $\sqrt{22^{3}}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 264 + \sqrt{22^{3}}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.5.8

Élevez $22$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 264 + \sqrt{10648}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.5.9

Réécrivez $10648$ comme $22^{2} \cdot 22$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.5.9.1

Factorisez $484$ à partir de $10648$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 264 + \sqrt{484 (22)}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.5.9.2

Réécrivez $484$ comme $22^{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 264 + \sqrt{22^{2} \cdot 22}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.5.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 264 + 22 \sqrt{22}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.6

Additionnez $64$ et $264$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 48 \sqrt{22} + 22 \sqrt{22}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.7

Additionnez $48 \sqrt{22}$ et $22 \sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(4 + \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}})) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (1 (\frac{{(4 + \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}})) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.10

Multipliez $\frac{{(4 + \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{{(4 + \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{{(4 + \sqrt{22})}^{2}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.12

Réécrivez ${(4 + \sqrt{22})}^{2}$ comme $(4 + \sqrt{22}) (4 + \sqrt{22})$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{(4 + \sqrt{22}) (4 + \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.13

Développez $(4 + \sqrt{22}) (4 + \sqrt{22})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{4 (4 + \sqrt{22}) + \sqrt{22} (4 + \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{22} + \sqrt{22} (4 + \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.13.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{22} + \sqrt{22} \cdot 4 + \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.14

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.14.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.14.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 \sqrt{22} + \sqrt{22} \cdot 4 + \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.14.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 \sqrt{22} + 4 \cdot \sqrt{22} + \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.14.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 \sqrt{22} + 4 \sqrt{22} + \sqrt{22 \cdot 22}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.14.1.4

Multipliez $22$ par $22$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 \sqrt{22} + 4 \sqrt{22} + \sqrt{484}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.14.1.5

Réécrivez $484$ comme $22^{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 \sqrt{22} + 4 \sqrt{22} + \sqrt{22^{2}}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.14.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 \sqrt{22} + 4 \sqrt{22} + 22}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.14.2

Additionnez $16$ et $22$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{38 + 4 \sqrt{22} + 4 \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.14.3

Additionnez $4 \sqrt{22}$ et $4 \sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{38 + 8 \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.15

Associez $4$ et $\frac{38 + 8 \sqrt{22}}{9}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22})}{9} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.16

Multipliez $- 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.16.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22})}{9} + 2 (\frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 15.2.1.16.2

Associez $2$ et $\frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22})}{9} + \frac{2 (4 + \sqrt{22})}{3}$

Étape 15.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Multipliez $\frac{4 (38 + 8 \sqrt{22})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22})}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 (4 + \sqrt{22})}{3}$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $\frac{4 (38 + 8 \sqrt{22})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 (4 + \sqrt{22})}{3}$

Étape 15.2.2.3

Multipliez $\frac{2 (4 + \sqrt{22})}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 (4 + \sqrt{22})}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 15.2.2.4

Multipliez $\frac{2 (4 + \sqrt{22})}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 15.2.2.5

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 15.2.2.6

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{27} + \frac{2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 15.2.2.7

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{27} + \frac{2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- (328 + 70 \sqrt{22}) + 4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 15.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 328 - (70 \sqrt{22}) + 4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $328$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - (70 \sqrt{22}) + 4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 15.2.4.3

Multipliez $70$ par $- 1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 15.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + (4 \cdot 38 + 4 (8 \sqrt{22})) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 15.2.4.5

Multipliez $4$ par $38$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + (152 + 4 (8 \sqrt{22})) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 15.2.4.6

Multipliez $8$ par $4$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + (152 + 32 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 15.2.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 152 \cdot 3 + 32 \sqrt{22} \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 15.2.4.8

Multipliez $152$ par $3$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 32 \sqrt{22} \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 15.2.4.9

Multipliez $3$ par $32$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 96 \sqrt{22} + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 15.2.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 96 \sqrt{22} + (2 \cdot 4 + 2 \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 15.2.4.11

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 96 \sqrt{22} + (8 + 2 \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Étape 15.2.4.12

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 96 \sqrt{22} + 8 \cdot 9 + 2 \sqrt{22} \cdot 9}{27}$

Étape 15.2.4.13

Multipliez $8$ par $9$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 96 \sqrt{22} + 72 + 2 \sqrt{22} \cdot 9}{27}$

Étape 15.2.4.14

Multipliez $9$ par $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 96 \sqrt{22} + 72 + 18 \sqrt{22}}{27}$

Étape 15.2.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.5.1

Additionnez $- 328$ et $456$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{128 - 70 \sqrt{22} + 96 \sqrt{22} + 72 + 18 \sqrt{22}}{27}$

Étape 15.2.5.2

Additionnez $128$ et $72$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{200 - 70 \sqrt{22} + 96 \sqrt{22} + 18 \sqrt{22}}{27}$

Étape 15.2.5.3

Additionnez $- 70 \sqrt{22}$ et $96 \sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{200 + 26 \sqrt{22} + 18 \sqrt{22}}{27}$

Étape 15.2.5.4

Additionnez $26 \sqrt{22}$ et $18 \sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{200 + 44 \sqrt{22}}{27}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $\frac{200 + 44 \sqrt{22}}{27}$ .

$y = \frac{200 + 44 \sqrt{22}}{27}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ .

$(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}, \frac{200 - 44 \sqrt{22}}{27})$ est un minimum local

$(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}, \frac{200 + 44 \sqrt{22}}{27})$ est un maximum local

Étape 17