Algèbre Exemples

$S (w) = w^{4} - w^{3} - 11 w^{2} - w - 12$

Étape 1

Pour déterminer le nombre possible de racines positives, regardez les signes sur les coefficients et comptez le nombre de fois que les signes sur les coefficients passent de positif à négatif ou de négatif à positif.

$f (w) = w^{4} - w^{3} - 11 w^{2} - w - 12$

Étape 2

Comme il y a $1$ changement de signe du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $1$ racine positive (règle des signes de Descartes).

Racines positives : $1$

Étape 3

Pour déterminer le nombre possible de racines négatives, remplacez $w$ par $- w$ et renouvelez la comparaison des signes.

$f (- w) = {(- w)}^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $- w$ .

$f (- w) = {(- 1)}^{4} w^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Étape 4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- w) = 1 w^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Étape 4.3

Multipliez $w^{4}$ par $1$ .

$f (- w) = w^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $- w$ .

$f (- w) = w^{4} - ({(- 1)}^{3} w^{3}) - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Étape 4.5

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.1

Déplacez ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 w^{3}) - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Étape 4.5.2

Multipliez ${(- 1)}^{3}$ par $- 1$ .

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Étape 4.5.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) w^{3}) - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Étape 4.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{3 + 1} w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Étape 4.5.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{4} w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Étape 4.6

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- w) = w^{4} + 1 w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Étape 4.7

Multipliez $w^{3}$ par $1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Étape 4.8

Appliquez la règle de produit à $- w$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 ({(- 1)}^{2} w^{2}) - (- w) - 12$

Étape 4.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 (1 w^{2}) - (- w) - 12$

Étape 4.10

Multipliez $w^{2}$ par $1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 w^{2} - (- w) - 12$

Étape 4.11

Multipliez $- (- w)$ .

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Étape 4.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 w^{2} + 1 w - 12$

Étape 4.11.2

Multipliez $w$ par $1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 w^{2} + w - 12$

Étape 5

Comme il y a $3$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $3$ racines négatives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines négatives sont déterminés en soustrayant des paires des racines (ex : $3 - 2$ ).

Racines négatives : $3$ ou $1$

Étape 6

Le nombre possible de racines positives est $1$ , et le nombre possible de racines négatives est $3$ ou $1$ .

Racines positives : $1$

Racines négatives : $3$ ou $1$