Algèbre Exemples

$f (x) = 3 x^{6} + 2 x^{5} + x^{4} - 2 x^{3}$

Étape 1

Factorisez le plus grand facteur commun de $x^{3}$ à partir de $3 x^{6} + 2 x^{5} + x^{4} - 2 x^{3}$ .

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Étape 1.1

Factorisez le plus grand facteur commun de $x^{3}$ à partir de chaque terme dans le polynôme.

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Étape 1.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun de $x^{3}$ à partir de l’expression $3 x^{6}$ .

$x^{3} (3 x^{3}) + 2 x^{5} + x^{4} - 2 x^{3}$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun de $x^{3}$ à partir de l’expression $2 x^{5}$ .

$x^{3} (3 x^{3}) + x^{3} (2 x^{2}) + x^{4} - 2 x^{3}$

Étape 1.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun de $x^{3}$ à partir de l’expression $x^{4}$ .

$x^{3} (3 x^{3}) + x^{3} (2 x^{2}) + x^{3} (x) - 2 x^{3}$

Étape 1.1.4

Factorisez le plus grand facteur commun de $x^{3}$ à partir de l’expression $- 2 x^{3}$ .

$x^{3} (3 x^{3}) + x^{3} (2 x^{2}) + x^{3} (x) + x^{3} (- 2)$

Étape 1.2

Comme tous les termes partagent un facteur commun de $x^{3}$ , il peut être factorisé sur chaque terme.

$x^{3} (3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 2)$

Étape 2

Appliquez la règle de Descartes sur l’expression intérieure $3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 2$ .

$3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 2$

Étape 3

Pour déterminer le nombre possible de racines positives, regardez les signes sur les coefficients et comptez le nombre de fois que les signes sur les coefficients passent de positif à négatif ou de négatif à positif.

$f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 2$

Étape 4

Comme il y a $1$ changement de signe du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $1$ racine positive (règle des signes de Descartes).

Racines positives : $1$

Étape 5

Pour déterminer le nombre possible de racines négatives, remplacez $x$ par $- x$ et renouvelez la comparaison des signes.

$f (- x) = 3 {(- x)}^{3} + 2 {(- x)}^{2} - x - 2$

Étape 6

Simplifiez le polynôme.

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Étape 6.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- x) = 3 {(- x)}^{3} + 2 {(- x)}^{2} - x - 2$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 3 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 2 {(- x)}^{2} - x - 2$

Étape 6.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- x) = 3 (- x^{3}) + 2 {(- x)}^{2} - x - 2$

Étape 6.2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- x) = - 3 x^{3} + 2 {(- x)}^{2} - x - 2$

Étape 6.2.4

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - 3 x^{3} + 2 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - x - 2$

Étape 6.2.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- x) = - 3 x^{3} + 2 (1 x^{2}) - x - 2$

Étape 6.2.6

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$

Étape 7

Comme il y a $2$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $2$ racines négatives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines négatives sont déterminés en soustrayant des paires des racines (ex : $2 - 2$ ).

Racines négatives : $2$ ou $0$

Étape 8

Le nombre possible de racines positives est $1$ , et le nombre possible de racines négatives est $2$ ou $0$ .

Racines positives : $1$

Racines négatives : $2$ ou $0$