Algèbre Exemples

$f (x) = 20 x^{4} + x^{3} + 8 x^{2} + x - 12$

Étape 1

Pour déterminer le nombre possible de racines positives, regardez les signes sur les coefficients et comptez le nombre de fois que les signes sur les coefficients passent de positif à négatif ou de négatif à positif.

$f (x) = 20 x^{4} + x^{3} + 8 x^{2} + x - 12$

Étape 2

Comme il y a $1$ changement de signe du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $1$ racine positive (règle des signes de Descartes).

Racines positives : $1$

Étape 3

Pour déterminer le nombre possible de racines négatives, remplacez $x$ par $- x$ et renouvelez la comparaison des signes.

$f (- x) = 20 {(- x)}^{4} + {(- x)}^{3} + 8 {(- x)}^{2} - x - 12$

Étape 4

Simplifiez le polynôme.

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Étape 4.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- x) = 20 {(- x)}^{4} + {(- x)}^{3} + 8 {(- x)}^{2} - x - 12$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 20 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + {(- x)}^{3} + 8 {(- x)}^{2} - x - 12$

Étape 4.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- x) = 20 (1 x^{4}) + {(- x)}^{3} + 8 {(- x)}^{2} - x - 12$

Étape 4.2.3

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f (- x) = 20 x^{4} + {(- x)}^{3} + 8 {(- x)}^{2} - x - 12$

Étape 4.2.4

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 20 x^{4} + {(- 1)}^{3} x^{3} + 8 {(- x)}^{2} - x - 12$

Étape 4.2.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- x) = 20 x^{4} - x^{3} + 8 {(- x)}^{2} - x - 12$

Étape 4.2.6

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 20 x^{4} - x^{3} + 8 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - x - 12$

Étape 4.2.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- x) = 20 x^{4} - x^{3} + 8 (1 x^{2}) - x - 12$

Étape 4.2.8

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- x) = 20 x^{4} - x^{3} + 8 x^{2} - x - 12$

Étape 5

Comme il y a $3$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $3$ racines négatives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines négatives sont déterminés en soustrayant des paires des racines (ex : $3 - 2$ ).

Racines négatives : $3$ ou $1$

Étape 6

Le nombre possible de racines positives est $1$ , et le nombre possible de racines négatives est $3$ ou $1$ .

Racines positives : $1$

Racines négatives : $3$ ou $1$