Algèbre Exemples

$f (x) = - 15 x^{4} + 1 x^{3} + 12 x^{2} - 1 x - 14$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$- 15 x^{4} + x^{3} + 12 x^{2} - 1 x - 14$

Étape 1.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- 15 x^{4} + x^{3} + 12 x^{2} - x - 14$

Étape 2

Pour déterminer le nombre possible de racines positives, regardez les signes sur les coefficients et comptez le nombre de fois que les signes sur les coefficients passent de positif à négatif ou de négatif à positif.

$f (x) = - 15 x^{4} + x^{3} + 12 x^{2} - x - 14$

Étape 3

Comme il y a $2$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $2$ racines positives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines positives sont déterminés en soustrayant des paires des racines $(2 - 2)$ .

Racines positives : $2$ ou $0$

Étape 4

Pour déterminer le nombre possible de racines négatives, remplacez $x$ par $- x$ et renouvelez la comparaison des signes.

$f (- x) = - 15 {(- x)}^{4} + {(- x)}^{3} + 12 {(- x)}^{2} - (- x) - 14$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - 15 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + {(- x)}^{3} + 12 {(- x)}^{2} - (- x) - 14$

Étape 5.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- x) = - 15 (1 x^{4}) + {(- x)}^{3} + 12 {(- x)}^{2} - (- x) - 14$

Étape 5.3

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f (- x) = - 15 x^{4} + {(- x)}^{3} + 12 {(- x)}^{2} - (- x) - 14$

Étape 5.4

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - 15 x^{4} + {(- 1)}^{3} x^{3} + 12 {(- x)}^{2} - (- x) - 14$

Étape 5.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- x) = - 15 x^{4} - x^{3} + 12 {(- x)}^{2} - (- x) - 14$

Étape 5.6

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - 15 x^{4} - x^{3} + 12 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - (- x) - 14$

Étape 5.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- x) = - 15 x^{4} - x^{3} + 12 (1 x^{2}) - (- x) - 14$

Étape 5.8

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- x) = - 15 x^{4} - x^{3} + 12 x^{2} - (- x) - 14$

Étape 5.9

Multipliez $- (- x)$ .

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Étape 5.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- x) = - 15 x^{4} - x^{3} + 12 x^{2} + 1 x - 14$

Étape 5.9.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (- x) = - 15 x^{4} - x^{3} + 12 x^{2} + x - 14$

Étape 6

Comme il y a $2$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $2$ racines négatives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines négatives sont déterminés en soustrayant des paires des racines (ex : $2 - 2$ ).

Racines négatives : $2$ ou $0$

Étape 7

Le nombre possible de racines positives est $2$ ou $0$ , et le nombre possible de racines négatives est $2$ ou $0$ .

Racines positives : $2$ ou $0$

Racines négatives : $2$ ou $0$