Algèbre Exemples

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 5}$

Étape 1

Résolvez $\sqrt{x - 5}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{x - 5} = f^{- 1} x$ .

$\sqrt{x - 5} = f^{- 1} x$

Étape 1.2

Simplifiez $f^{- 1} x$ .

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{x - 5} = \frac{1}{f} x$

Étape 1.2.2

Associez $\frac{1}{f}$ et $x$ .

$\sqrt{x - 5} = \frac{x}{f}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x - 5}}^{2} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 5}$ comme ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x - 5)}^{1} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$x - 5 = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{f}$ .

$x - 5 = \frac{x^{2}}{f^{2}}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Multipliez les deux côtés par $f^{2}$ .

$(x - 5) f^{2} = \frac{x^{2}}{f^{2}} f^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez $(x - 5) f^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x f^{2} - 5 f^{2} = \frac{x^{2}}{f^{2}} f^{2}$

Étape 4.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $f^{2}$ .

$f^{2} x - 5 f^{2} = \frac{x^{2}}{f^{2}} f^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $f^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{2} x - 5 f^{2} = \frac{x^{2}}{f^{2}} f^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{2} x - 5 f^{2} = x^{2}$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$f^{2} x - 5 f^{2} - x^{2} = 0$

Étape 4.3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.3.3

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = f^{2}$ et $c = - 5 f^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- f^{2} \pm \sqrt{{(f^{2})}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- 5 f^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.4

Simplifiez

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Étape 4.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.4.1.1

Multipliez les exposants dans ${(f^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.3.4.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2 \cdot 2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.4.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 5$ .

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Étape 4.3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} + 4 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.4.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.4.1.3

Factorisez $f^{2}$ à partir de $f^{4} - 20 f^{2}$ .

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Étape 4.3.4.1.3.1

Factorisez $f^{2}$ à partir de $f^{4}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.4.1.3.2

Factorisez $f^{2}$ à partir de $- 20 f^{2}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.4.1.3.3

Factorisez $f^{2}$ à partir de $f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} (f^{2} - 20)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.4.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$

Étape 4.3.4.3

Simplifiez $\frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$ .

$x = \frac{f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Étape 4.3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1.1

Multipliez les exposants dans ${(f^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.3.5.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2 \cdot 2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.5.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 5$ .

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Étape 4.3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} + 4 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.5.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.5.1.3

Factorisez $f^{2}$ à partir de $f^{4} - 20 f^{2}$ .

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Étape 4.3.5.1.3.1

Factorisez $f^{2}$ à partir de $f^{4}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.5.1.3.2

Factorisez $f^{2}$ à partir de $- 20 f^{2}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.5.1.3.3

Factorisez $f^{2}$ à partir de $f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} (f^{2} - 20)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.5.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$

Étape 4.3.5.3

Simplifiez $\frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$ .

$x = \frac{f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Étape 4.3.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{f^{2} + f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Étape 4.3.5.5

Factorisez $f$ à partir de $f^{2} + f \sqrt{f^{2} - 20}$ .

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Étape 4.3.5.5.1

Factorisez $f$ à partir de $f^{2}$ .

$x = \frac{f \cdot f + f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Étape 4.3.5.5.2

Factorisez $f$ à partir de $f \sqrt{f^{2} - 20}$ .

$x = \frac{f \cdot f + f (\sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

Étape 4.3.5.5.3

Factorisez $f$ à partir de $f \cdot f + f (\sqrt{f^{2} - 20})$ .

$x = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

Étape 4.3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 4.3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.6.1.1

Multipliez les exposants dans ${(f^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.3.6.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2 \cdot 2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.6.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 5$ .

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Étape 4.3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} + 4 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.6.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.6.1.3

Factorisez $f^{2}$ à partir de $f^{4} - 20 f^{2}$ .

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Étape 4.3.6.1.3.1

Factorisez $f^{2}$ à partir de $f^{4}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.6.1.3.2

Factorisez $f^{2}$ à partir de $- 20 f^{2}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.6.1.3.3

Factorisez $f^{2}$ à partir de $f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} (f^{2} - 20)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$

Étape 4.3.6.3

Simplifiez $\frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$ .

$x = \frac{f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Étape 4.3.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{f^{2} - f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Étape 4.3.6.5

Factorisez $f$ à partir de $f^{2} - f \sqrt{f^{2} - 20}$ .

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Étape 4.3.6.5.1

Factorisez $f$ à partir de $f^{2}$ .

$x = \frac{f \cdot f - f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Étape 4.3.6.5.2

Factorisez $f$ à partir de $- f \sqrt{f^{2} - 20}$ .

$x = \frac{f \cdot f + f (- \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

Étape 4.3.6.5.3

Factorisez $f$ à partir de $f \cdot f + f (- \sqrt{f^{2} - 20})$ .

$x = \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

Étape 4.3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

Étape 5

Pour réécrire comme une fonction de $f$ , écrivez l’équation de sorte que $x$ figure seul d’un côté du signe égal et qu’une expression avec uniquement $f$ figure de l’autre côté.

$f (f) = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}, \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$