Algèbre Exemples

$\frac{4}{x - 2} \geq 2$

Étape 1

Résolvez $2 < x \leq 4$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{4}{x - 2} - 2 \geq 0$

Étape 1.2

Simplifiez $\frac{4}{x - 2} - 2$ .

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Étape 1.2.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{x - 2} - 2 \cdot \frac{x - 2}{x - 2} \geq 0$

Étape 1.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{x - 2} + \frac{- 2 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - 2 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Étape 1.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 - 2 (x - 2)$ .

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Étape 1.2.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (2) - 2 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Étape 1.2.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 (x - 2)$ .

$\frac{2 (2) + 2 (- (x - 2))}{x - 2} \geq 0$

Étape 1.2.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (- (x - 2))$ .

$\frac{2 (2 - (x - 2))}{x - 2} \geq 0$

Étape 1.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 - x - - 2)}{x - 2} \geq 0$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{2 (2 - x + 2)}{x - 2} \geq 0$

Étape 1.2.4.4

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{x - 2} \geq 0$

Étape 1.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 4)}{x - 2} \geq 0$

Étape 1.2.6

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 4))}{x - 2} \geq 0$

Étape 1.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x - 4))}{x - 2} \geq 0$

Étape 1.2.8

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 4))}{x - 2} \geq 0$

Étape 1.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (x - 4)}{x - 2} \geq 0$

Étape 1.3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 1.4

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 1.5

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 4$

$x = 2$

Étape 1.7

Consolidez les solutions.

$x = 4, 2$

Étape 1.8

Déterminez le domaine de $- \frac{2 (x - 4)}{x - 2}$ .

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Étape 1.8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 (x - 4)}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 1.8.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 1.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Étape 1.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.10.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4}{(0) - 2} \geq 2$

Étape 1.10.1.3

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 1.10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 1.10.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4}{(3) - 2} \geq 2$

Étape 1.10.2.3

Le côté gauche $4$ est supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 1.10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 1.10.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4}{(6) - 2} \geq 2$

Étape 1.10.3.3

Le côté gauche $1$ est inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 1.10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 2$ Faux

$2 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < 2$ Faux

$2 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 1.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$2 < x \leq 4$

Étape 2

Utilisez l’inégalité $2 < x \leq 4$ pour créer la notation de l’ensemble.

${x | 2 < x \leq 4}$

Étape 3