Algèbre Exemples

$\frac{x + 3}{(x - 1) (x^{2} + 3)}$

Étape 1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Étape 1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du deuxième degré, les termes $2$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3}$

Étape 1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(x - 1) (x^{2} + 3)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 1) (x^{2} + 3)}{(x - 1) (x^{2} + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + 3)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 3) (x - 1) (x^{2} + 3)}{(x - 1) (x^{2} + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + 3)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 3) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + 3)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 3$ .

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 3) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + 3)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Étape 1.5.2

Divisez $x + 3$ par $1$ .

$x + 3 = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + 3)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$x + 3 = \frac{A (x - 1) (x^{2} + 3)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.1.2

Divisez $(A) (x^{2} + 3)$ par $1$ .

$x + 3 = (A) (x^{2} + 3) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 3 = A x^{2} + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.3

Déplacez $3$ à gauche de $A$ .

$x + 3 = A x^{2} + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.4

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 3$ .

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Étape 1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x + 3 = A x^{2} + 3 A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.4.2

Divisez $(B x + C) (x - 1)$ par $1$ .

$x + 3 = A x^{2} + 3 A + (B x + C) (x - 1)$

Étape 1.6.5

Développez $(B x + C) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 3 = A x^{2} + 3 A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

Étape 1.6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 3 = A x^{2} + 3 A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

Étape 1.6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x + 3 = A x^{2} + 3 A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Étape 1.6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.6.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.6.1.1

Déplacez $x$ .

$x + 3 = A x^{2} + 3 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Étape 1.6.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x + 3 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Étape 1.6.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $B x$ .

$x + 3 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

Étape 1.6.6.3

Réécrivez $- 1 (B x)$ comme $- (B x)$ .

$x + 3 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

Étape 1.6.6.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $C$ .

$x + 3 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

Étape 1.6.6.5

Réécrivez $- 1 C$ comme $- C$ .

$x + 3 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} - B x + C x - C$

Étape 1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.7.1

Déplacez $B$ .

$x + 3 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

Étape 1.7.2

Déplacez $3 A$ .

$x + 3 = A x^{2} + B x^{2} - 1 x B + C x + 3 A - C$

Étape 2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + B$

Étape 2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = - 1 B + C$

Étape 2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$3 = 3 A - 1 C$

Étape 2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + B$

$1 = - 1 B + C$

$3 = 3 A - 1 C$

$0 = A + B$

$1 = - 1 B + C$

$3 = 3 A - 1 C$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 3.1

Résolvez $A$ dans $0 = A + B$ .

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Étape 3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 B + C$

$3 = 3 A - 1 C$

Étape 3.1.2

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

$3 = 3 A - 1 C$

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

$3 = 3 A - 1 C$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- B$ dans chaque équation.

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Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $3 = 3 A - 1 C$ par $- B$ .

$3 = 3 (- B) - 1 C$

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 = - 3 B - 1 C$

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

Étape 3.2.2.1.2

Réécrivez $- 1 C$ comme $- C$ .

$3 = - 3 B - C$

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

$3 = - 3 B - C$

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

$3 = - 3 B - C$

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

$3 = - 3 B - C$

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

Étape 3.3

Résolvez $B$ dans $3 = - 3 B - C$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 B - C = 3$ .

$- 3 B - C = 3$

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

Étape 3.3.2

Ajoutez $C$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 B = 3 + C$

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $- 3 B = 3 + C$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 B = 3 + C$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{3}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{3}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

Étape 3.3.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{3}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

$B = \frac{3}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

$B = \frac{3}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.3.1.1

Divisez $3$ par $- 3$ .

$B = - 1 + \frac{C}{- 3}$

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

Étape 3.3.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$A = - B$

$1 = - 1 B + C$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $- 1 - \frac{C}{3}$ dans chaque équation.

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Étape 3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = - B$ par $- 1 - \frac{C}{3}$ .

$A = - (- 1 - \frac{C}{3})$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$1 = - 1 B + C$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez $- (- 1 - \frac{C}{3})$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$1 = - 1 B + C$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$1 = - 1 B + C$

Étape 3.4.2.1.3

Multipliez $- - \frac{C}{3}$ .

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Étape 3.4.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A = 1 + 1 (\frac{C}{3})$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$1 = - 1 B + C$

Étape 3.4.2.1.3.2

Multipliez $\frac{C}{3}$ par $1$ .

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$1 = - 1 B + C$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$1 = - 1 B + C$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$1 = - 1 B + C$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$1 = - 1 B + C$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $1 = - 1 B + C$ par $- 1 - \frac{C}{3}$ .

$1 = - 1 (- 1 - \frac{C}{3}) + C$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.4.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.1

Simplifiez $- 1 (- 1 - \frac{C}{3}) + C$ .

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Étape 3.4.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = - 1 \cdot - 1 - 1 (- \frac{C}{3}) + C$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.4.4.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 = 1 - 1 (- \frac{C}{3}) + C$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.4.4.1.1.3

Multipliez $- 1 (- \frac{C}{3})$ .

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Étape 3.4.4.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 = 1 + 1 (\frac{C}{3}) + C$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.4.4.1.1.3.2

Multipliez $\frac{C}{3}$ par $1$ .

$1 = 1 + \frac{C}{3} + C$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$1 = 1 + \frac{C}{3} + C$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$1 = 1 + \frac{C}{3} + C$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.4.4.1.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$1 = 1 + \frac{C}{3} + C \cdot \frac{3}{3}$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.4.4.1.3

Associez $C$ et $\frac{3}{3}$ .

$1 = 1 + \frac{C}{3} + \frac{C \cdot 3}{3}$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.4.4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 = 1 + \frac{C + C \cdot 3}{3}$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.4.4.1.5

Additionnez $C$ et $C \cdot 3$ .

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Étape 3.4.4.1.5.1

Remettez dans l’ordre $C$ et $3$ .

$1 = 1 + \frac{C + 3 \cdot C}{3}$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.4.4.1.5.2

Additionnez $C$ et $3 \cdot C$ .

$1 = 1 + \frac{4 C}{3}$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$1 = 1 + \frac{4 C}{3}$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$1 = 1 + \frac{4 C}{3}$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$1 = 1 + \frac{4 C}{3}$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$1 = 1 + \frac{4 C}{3}$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.5

Résolvez $C$ dans $1 = 1 + \frac{4 C}{3}$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $1 + \frac{4 C}{3} = 1$ .

$1 + \frac{4 C}{3} = 1$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{4 C}{3} = 1 - 1$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.5.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{4 C}{3} = 0$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$\frac{4 C}{3} = 0$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.5.3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 C = 0$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $4 C = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $4 C = 0$ par $4$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{0}{4}$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 C}{4} = \frac{0}{4}$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{0}{4}$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$C = \frac{0}{4}$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$C = \frac{0}{4}$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$C = 0$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$C = 0$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$C = 0$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$C = 0$

$A = 1 + \frac{C}{3}$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.6

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 3.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $A = 1 + \frac{C}{3}$ par $0$ .

$A = 1 + \frac{0}{3}$

$C = 0$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.1

Simplifiez $1 + \frac{0}{3}$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Divisez $0$ par $3$ .

$A = 1 + 0$

$C = 0$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.6.2.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1 - \frac{C}{3}$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $B = - 1 - \frac{C}{3}$ par $0$ .

$B = - 1 - \frac{0}{3}$

$A = 1$

$C = 0$

Étape 3.6.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.4.1

Simplifiez $- 1 - \frac{0}{3}$ .

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Étape 3.6.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.4.1.1.1

Divisez $0$ par $3$ .

$B = - 1 - 0$

$A = 1$

$C = 0$

Étape 3.6.4.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$B = - 1 + 0$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1 + 0$

$A = 1$

$C = 0$

Étape 3.6.4.1.2

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Étape 3.7

Indiquez toutes les solutions.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Étape 4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$\frac{1}{x - 1} + \frac{- 1 x + 0}{x^{2} + 3}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{1}{x - 1} + \frac{(- 1) \cdot x + 0}{x^{2} + 3}$

Étape 5.2

Additionnez $(- 1) \cdot x$ et $0$ .

$\frac{1}{x - 1} + \frac{(- 1) \cdot x}{x^{2} + 3}$

Étape 5.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{1}{x - 1} + \frac{- x}{x^{2} + 3}$