Algèbre Exemples

$\frac{4 y^{2} - 18 y + 18}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Étape 1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y^{2} - 18 y + 18$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y^{2}$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) - 18 y + 18}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 18 y$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) + 2 (- 9 y) + 18}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) + 2 (- 9 y) + 2 (9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Étape 1.1.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 y^{2}) + 2 (- 9 y)$ .

$\frac{2 (2 y^{2} - 9 y) + 2 (9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Étape 1.1.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 y^{2} - 9 y) + 2 (9)$ .

$\frac{2 (2 y^{2} - 9 y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Étape 1.1.2

Factorisez.

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Étape 1.1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ et dont la somme est $b = - 9$ .

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Étape 1.1.2.1.1.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 y$ .

$\frac{2 (2 y^{2} - 9 (y) + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Étape 1.1.2.1.1.2

Réécrivez $- 9$ comme $- 3$ plus $- 6$

$\frac{2 (2 y^{2} + (- 3 - 6) y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Étape 1.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 y^{2} - 3 y - 6 y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Étape 1.1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 ((2 y^{2} - 3 y) - 6 y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Étape 1.1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 (y (2 y - 3) - 3 (2 y - 3))}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Étape 1.1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 y - 3$ .

$\frac{2 ((2 y - 3) (y - 3))}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Étape 1.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Étape 1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y^{3} - 6 y^{2} + 9 y$ .

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{3}$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y \cdot y^{2} - 6 y^{2} + 9 y}$

Étape 1.1.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 6 y^{2}$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y \cdot y^{2} + y (- 6 y) + 9 y}$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $y$ à partir de $9 y$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y \cdot y^{2} + y (- 6 y) + y \cdot 9}$

Étape 1.1.3.4

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y^{2} + y (- 6 y)$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 6 y) + y \cdot 9}$

Étape 1.1.3.5

Factorisez $y$ à partir de $y (y^{2} - 6 y) + y \cdot 9$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 6 y + 9)}$

Étape 1.1.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 6 y + 3^{2})}$

Étape 1.1.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 y = 2 \cdot y \cdot 3$

Étape 1.1.4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^{2})}$

Étape 1.1.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = y$ et $b = 3$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y {(y - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.5

Réduisez l’expression $\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y {(y - 3)}^{2}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.1.5.1

Factorisez $y - 3$ à partir de $2 (2 y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{(y - 3) (2 (2 y - 3))}{y {(y - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.5.2

Factorisez $y - 3$ à partir de $y {(y - 3)}^{2}$ .

$\frac{(y - 3) (2 (2 y - 3))}{(y - 3) (y (y - 3))}$

Étape 1.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y - 3) (2 (2 y - 3))}{(y - 3) (y (y - 3))}$

Étape 1.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (2 y - 3)}{y (y - 3)}$

Étape 1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 3}$

Étape 1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $y (y - 3)$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y (y - 3))}{y (y - 3)} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 y - 3) (y (y - 3))}{y (y - 3)} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $y - 3$ .

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.5.2

Divisez $2 (2 y - 3)$ par $1$ .

$2 (2 y - 3) = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.6

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 y) + 2 \cdot - 3 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.7

Multipliez.

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Étape 1.7.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 y + 2 \cdot - 3 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.7.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$4 y - 6 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.8.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 y - 6 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.8.1.2

Divisez $A (y - 3)$ par $1$ .

$4 y - 6 = A (y - 3) + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 y - 6 = A y + A \cdot - 3 + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.8.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $A$ .

$4 y - 6 = A y - 3 \cdot A + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.8.4

Annulez le facteur commun de $y - 3$ .

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Étape 1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 y - 6 = A y - 3 A + \frac{B (y (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.8.4.2

Divisez $(B) (y)$ par $1$ .

$4 y - 6 = A y - 3 A + (B) (y)$

$4 y - 6 = A y - 3 A + B y$

Étape 1.9

Déplacez $- 3 A$ .

$4 y - 6 = A y + B y - 3 A$

Étape 2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $y$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$4 = A + B$

Étape 2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $y$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 6 = - 3 A$

Étape 2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$4 = A + B$

$- 6 = - 3 A$

$4 = A + B$

$- 6 = - 3 A$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 3.1

Résolvez $A$ dans $- 6 = - 3 A$ .

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Étape 3.1.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 A = - 6$ .

$- 3 A = - 6$

$4 = A + B$

Étape 3.1.2

Divisez chaque terme dans $- 3 A = - 6$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 A = - 6$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

Étape 3.1.2.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

$A = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

$A = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.2.3.1

Divisez $- 6$ par $- 3$ .

$A = 2$

$4 = A + B$

$A = 2$

$4 = A + B$

$A = 2$

$4 = A + B$

$A = 2$

$4 = A + B$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $2$ dans chaque équation.

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Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $4 = A + B$ par $2$ .

$4 = (2) + B$

$A = 2$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$4 = 2 + B$

$A = 2$

$4 = 2 + B$

$A = 2$

$4 = 2 + B$

$A = 2$

Étape 3.3

Résolvez $B$ dans $4 = 2 + B$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $2 + B = 4$ .

$2 + B = 4$

$A = 2$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$B = 4 - 2$

$A = 2$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$B = 2$

$A = 2$

$B = 2$

$A = 2$

$B = 2$

$A = 2$

Étape 3.4

Résolvez le système d’équations.

$B = 2 A = 2$

Étape 3.5

Indiquez toutes les solutions.

$B = 2, A = 2$

Étape 4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 3}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{2}{y} + \frac{2}{y - 3}$