Algèbre Exemples

$\frac{3 x + 7}{x^{3} + 2 x^{2} - 15 x}$

Étape 1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + 2 x^{2} - 15 x$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{3 x + 7}{x \cdot x^{2} + 2 x^{2} - 15 x}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x + 7}{x \cdot x^{2} + x (2 x) - 15 x}$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 15 x$ .

$\frac{3 x + 7}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 15}$

Étape 1.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (2 x)$ .

$\frac{3 x + 7}{x (x^{2} + 2 x) + x \cdot - 15}$

Étape 1.1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} + 2 x) + x \cdot - 15$ .

$\frac{3 x + 7}{x (x^{2} + 2 x - 15)}$

Étape 1.1.2

Factorisez.

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Étape 1.1.2.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $2$ .

$- 3, 5$

Étape 1.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3 x + 7}{x ((x - 3) (x + 5))}$

Étape 1.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{3 x + 7}{x (x - 3) (x + 5)}$

Étape 1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3}$

Étape 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 5}$

Étape 1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $x (x - 3) (x + 5)$ .

$\frac{(3 x + 7) (x (x - 3) (x + 5))}{x (x - 3) (x + 5)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 5))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 5))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 x + 7) (x (x - 3) (x + 5))}{x (x - 3) (x + 5)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 5))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 5))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(3 x + 7) ((x - 3) (x + 5))}{(x - 3) (x + 5)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 5))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 5))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 x + 7) ((x - 3) (x + 5))}{(x - 3) (x + 5)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 5))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 5))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(3 x + 7) (x + 5)}{x + 5} = \frac{A (x (x - 3) (x + 5))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 5))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.7

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 1.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 x + 7) (x + 5)}{x + 5} = \frac{A (x (x - 3) (x + 5))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 5))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.7.2

Divisez $3 x + 7$ par $1$ .

$3 x + 7 = \frac{A (x (x - 3) (x + 5))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 5))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.8.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 x + 7 = \frac{A (x (x - 3) (x + 5))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 5))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8.1.2

Divisez $A ((x - 3) (x + 5))$ par $1$ .

$3 x + 7 = A ((x - 3) (x + 5)) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 5))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8.2

Développez $(x - 3) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 7 = A (x (x + 5) - 3 (x + 5)) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 5))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 7 = A (x \cdot x + x \cdot 5 - 3 (x + 5)) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 5))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 7 = A (x \cdot x + x \cdot 5 - 3 x - 3 \cdot 5) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 5))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x + 7 = A (x^{2} + x \cdot 5 - 3 x - 3 \cdot 5) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 5))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8.3.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$3 x + 7 = A (x^{2} + 5 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 5) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 5))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$3 x + 7 = A (x^{2} + 5 x - 3 x - 15) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 5))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8.3.2

Soustrayez $3 x$ de $5 x$ .

$3 x + 7 = A (x^{2} + 2 x - 15) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 5))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 7 = A x^{2} + A (2 x) + A \cdot - 15 + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 5))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8.5

Simplifiez

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Étape 1.8.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 A x + A \cdot - 15 + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 5))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8.5.2

Déplacez $- 15$ à gauche de $A$ .

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 A x - 15 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 5))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8.6

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 1.8.6.1

Annulez le facteur commun.

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 A x - 15 A + \frac{B (x (x - 3) (x + 5))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8.6.2

Divisez $(B) (x (x + 5))$ par $1$ .

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 A x - 15 A + (B) (x (x + 5)) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8.7

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 A x - 15 A + B (x \cdot x + x \cdot 5) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8.8

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 A x - 15 A + B (x^{2} + x \cdot 5) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8.9

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 A x - 15 A + B (x^{2} + 5 \cdot x) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8.10

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 A x - 15 A + B x^{2} + B (5 x) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 A x - 15 A + B x^{2} + 5 B x + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8.12

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 1.8.12.1

Annulez le facteur commun.

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 A x - 15 A + B x^{2} + 5 B x + \frac{C (x (x - 3) (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.8.12.2

Divisez $(C) (x (x - 3))$ par $1$ .

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 A x - 15 A + B x^{2} + 5 B x + (C) (x (x - 3))$

Étape 1.8.13

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 A x - 15 A + B x^{2} + 5 B x + C (x \cdot x + x \cdot - 3)$

Étape 1.8.14

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 A x - 15 A + B x^{2} + 5 B x + C (x^{2} + x \cdot - 3)$

Étape 1.8.15

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 A x - 15 A + B x^{2} + 5 B x + C (x^{2} - 3 \cdot x)$

Étape 1.8.16

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 A x - 15 A + B x^{2} + 5 B x + C x^{2} + C (- 3 x)$

Étape 1.8.17

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 A x - 15 A + B x^{2} + 5 B x + C x^{2} - 3 C x$

Étape 1.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.9.1

Déplacez $A$ .

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 x A - 15 A + B x^{2} + 5 B x + C x^{2} - 3 C x$

Étape 1.9.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $x^{2}$ .

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 x A - 15 A + B x^{2} + 5 B x + C x^{2} - 3 C x$

Étape 1.9.3

Déplacez $B$ .

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 x A - 15 A + B x^{2} + 5 x B + C x^{2} - 3 C x$

Étape 1.9.4

Déplacez $- 15 A$ .

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 x A + B x^{2} + 5 x B + C x^{2} - 3 C x - 15 A$

Étape 1.9.5

Déplacez $5 x B$ .

$3 x + 7 = A x^{2} + 2 x A + B x^{2} + C x^{2} + 5 x B - 3 C x - 15 A$

Étape 1.9.6

Déplacez $2 x A$ .

$3 x + 7 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} + 2 x A + 5 x B - 3 C x - 15 A$

Étape 2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + B + C$

Étape 2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$3 = 2 A + 5 B - 3 C$

Étape 2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$7 = - 15 A$

Étape 2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + B + C$

$3 = 2 A + 5 B - 3 C$

$7 = - 15 A$

$0 = A + B + C$

$3 = 2 A + 5 B - 3 C$

$7 = - 15 A$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 3.1

Résolvez $A$ dans $7 = - 15 A$ .

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Étape 3.1.1

Réécrivez l’équation comme $- 15 A = 7$ .

$- 15 A = 7$

$0 = A + B + C$

$3 = 2 A + 5 B - 3 C$

Étape 3.1.2

Divisez chaque terme dans $- 15 A = 7$ par $- 15$ et simplifiez.

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Étape 3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 15 A = 7$ par $- 15$ .

$\frac{- 15 A}{- 15} = \frac{7}{- 15}$

$0 = A + B + C$

$3 = 2 A + 5 B - 3 C$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 15$ .

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Étape 3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 15 A}{- 15} = \frac{7}{- 15}$

$0 = A + B + C$

$3 = 2 A + 5 B - 3 C$

Étape 3.1.2.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{7}{- 15}$

$0 = A + B + C$

$3 = 2 A + 5 B - 3 C$

$A = \frac{7}{- 15}$

$0 = A + B + C$

$3 = 2 A + 5 B - 3 C$

$A = \frac{7}{- 15}$

$0 = A + B + C$

$3 = 2 A + 5 B - 3 C$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$A = - \frac{7}{15}$

$0 = A + B + C$

$3 = 2 A + 5 B - 3 C$

$A = - \frac{7}{15}$

$0 = A + B + C$

$3 = 2 A + 5 B - 3 C$

$A = - \frac{7}{15}$

$0 = A + B + C$

$3 = 2 A + 5 B - 3 C$

$A = - \frac{7}{15}$

$0 = A + B + C$

$3 = 2 A + 5 B - 3 C$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- \frac{7}{15}$ dans chaque équation.

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Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = A + B + C$ par $- \frac{7}{15}$ .

$0 = (- \frac{7}{15}) + B + C$

$A = - \frac{7}{15}$

$3 = 2 A + 5 B - 3 C$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$0 = - \frac{7}{15} + B + C$

$A = - \frac{7}{15}$

$3 = 2 A + 5 B - 3 C$

$0 = - \frac{7}{15} + B + C$

$A = - \frac{7}{15}$

$3 = 2 A + 5 B - 3 C$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $3 = 2 A + 5 B - 3 C$ par $- \frac{7}{15}$ .

$3 = 2 (- \frac{7}{15}) + 5 B - 3 C$

$0 = - \frac{7}{15} + B + C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1.1

Multipliez $2 (- \frac{7}{15})$ .

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Étape 3.2.4.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 = - 2 (\frac{7}{15}) + 5 B - 3 C$

$0 = - \frac{7}{15} + B + C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.2.4.1.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{7}{15}$ .

$3 = \frac{- 2 \cdot 7}{15} + 5 B - 3 C$

$0 = - \frac{7}{15} + B + C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.2.4.1.1.3

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$3 = \frac{- 14}{15} + 5 B - 3 C$

$0 = - \frac{7}{15} + B + C$

$A = - \frac{7}{15}$

$3 = \frac{- 14}{15} + 5 B - 3 C$

$0 = - \frac{7}{15} + B + C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.2.4.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 = - \frac{14}{15} + 5 B - 3 C$

$0 = - \frac{7}{15} + B + C$

$A = - \frac{7}{15}$

$3 = - \frac{14}{15} + 5 B - 3 C$

$0 = - \frac{7}{15} + B + C$

$A = - \frac{7}{15}$

$3 = - \frac{14}{15} + 5 B - 3 C$

$0 = - \frac{7}{15} + B + C$

$A = - \frac{7}{15}$

$3 = - \frac{14}{15} + 5 B - 3 C$

$0 = - \frac{7}{15} + B + C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.3

Résolvez $B$ dans $0 = - \frac{7}{15} + B + C$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{7}{15} + B + C = 0$ .

$- \frac{7}{15} + B + C = 0$

$3 = - \frac{14}{15} + 5 B - 3 C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $\frac{7}{15}$ aux deux côtés de l’équation.

$B + C = \frac{7}{15}$

$3 = - \frac{14}{15} + 5 B - 3 C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$B = \frac{7}{15} - C$

$3 = - \frac{14}{15} + 5 B - 3 C$

$A = - \frac{7}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$3 = - \frac{14}{15} + 5 B - 3 C$

$A = - \frac{7}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$3 = - \frac{14}{15} + 5 B - 3 C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $\frac{7}{15} - C$ dans chaque équation.

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Étape 3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $3 = - \frac{14}{15} + 5 B - 3 C$ par $\frac{7}{15} - C$ .

$3 = - \frac{14}{15} + 5 (\frac{7}{15} - C) - 3 C$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez $- \frac{14}{15} + 5 (\frac{7}{15} - C) - 3 C$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.4.2.1.1.1

Écrivez $5 (\frac{7}{15} - C)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$3 = - \frac{14}{15} + \frac{5 (\frac{7}{15} - C)}{1} - 3 C$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Multipliez $\frac{5 (\frac{7}{15} - C)}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$3 = - \frac{14}{15} + \frac{5 (\frac{7}{15} - C)}{1} \cdot \frac{15}{15} - 3 C$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.1.3

Multipliez $\frac{5 (\frac{7}{15} - C)}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$3 = - \frac{14}{15} + \frac{5 (\frac{7}{15} - C) \cdot 15}{15} - 3 C$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.1.4

Écrivez $- 3 C$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$3 = - \frac{14}{15} + \frac{5 (\frac{7}{15} - C) \cdot 15}{15} + \frac{- 3 C}{1}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.1.5

Multipliez $\frac{- 3 C}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$3 = - \frac{14}{15} + \frac{5 (\frac{7}{15} - C) \cdot 15}{15} + \frac{- 3 C}{1} \cdot \frac{15}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.1.6

Multipliez $\frac{- 3 C}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$3 = - \frac{14}{15} + \frac{5 (\frac{7}{15} - C) \cdot 15}{15} + \frac{- 3 C \cdot 15}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$3 = - \frac{14}{15} + \frac{5 (\frac{7}{15} - C) \cdot 15}{15} + \frac{- 3 C \cdot 15}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 = \frac{- 14 + 5 (\frac{7}{15} - C) \cdot 15 - 3 C \cdot 15}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 = \frac{- 14 + (5 (\frac{7}{15}) + 5 (- C)) \cdot 15 - 3 C \cdot 15}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$3 = \frac{- 14 + (5 (\frac{7}{5 (3)}) + 5 (- C)) \cdot 15 - 3 C \cdot 15}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 = \frac{- 14 + (5 (\frac{7}{5 \cdot 3}) + 5 (- C)) \cdot 15 - 3 C \cdot 15}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 = \frac{- 14 + (\frac{7}{3} + 5 (- C)) \cdot 15 - 3 C \cdot 15}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$3 = \frac{- 14 + (\frac{7}{3} + 5 (- C)) \cdot 15 - 3 C \cdot 15}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$3 = \frac{- 14 + (\frac{7}{3} - 5 C) \cdot 15 - 3 C \cdot 15}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 = \frac{- 14 + \frac{7}{3} \cdot 15 - 5 C \cdot 15 - 3 C \cdot 15}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.3.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.3.5.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$3 = \frac{- 14 + \frac{7}{3} \cdot (3 (5)) - 5 C \cdot 15 - 3 C \cdot 15}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$3 = \frac{- 14 + \frac{7}{3} \cdot (3 \cdot 5) - 5 C \cdot 15 - 3 C \cdot 15}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$3 = \frac{- 14 + 7 \cdot 5 - 5 C \cdot 15 - 3 C \cdot 15}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$3 = \frac{- 14 + 7 \cdot 5 - 5 C \cdot 15 - 3 C \cdot 15}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.3.6

Multipliez $7$ par $5$ .

$3 = \frac{- 14 + 35 - 5 C \cdot 15 - 3 C \cdot 15}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.3.7

Multipliez $15$ par $- 5$ .

$3 = \frac{- 14 + 35 - 75 C - 3 C \cdot 15}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.3.8

Multipliez $15$ par $- 3$ .

$3 = \frac{- 14 + 35 - 75 C - 45 C}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$3 = \frac{- 14 + 35 - 75 C - 45 C}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.4

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.4.1

Additionnez $- 14$ et $35$ .

$3 = \frac{21 - 75 C - 45 C}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.4.2

Soustrayez $45 C$ de $- 75 C$ .

$3 = \frac{21 - 120 C}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.4.3

Annulez le facteur commun à $21 - 120 C$ et $15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$3 = \frac{3 (7) - 120 C}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.4.3.2

Factorisez $3$ à partir de $- 120 C$ .

$3 = \frac{3 (7) + 3 (- 40 C)}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.4.3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (7) + 3 (- 40 C)$ .

$3 = \frac{3 (7 - 40 C)}{15}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.4.3.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.4.3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$3 = \frac{3 (7 - 40 C)}{3 \cdot 5}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.4.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$3 = \frac{3 (7 - 40 C)}{3 \cdot 5}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.4.2.1.4.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$3 = \frac{7 - 40 C}{5}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$3 = \frac{7 - 40 C}{5}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$3 = \frac{7 - 40 C}{5}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$3 = \frac{7 - 40 C}{5}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$3 = \frac{7 - 40 C}{5}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$3 = \frac{7 - 40 C}{5}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$3 = \frac{7 - 40 C}{5}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.5

Résolvez $C$ dans $3 = \frac{7 - 40 C}{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{7 - 40 C}{5} = 3$ .

$\frac{7 - 40 C}{5} = 3$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par $5$ .

$\frac{7 - 40 C}{5} \cdot 5 = 3 \cdot 5$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1.1

Simplifiez $\frac{7 - 40 C}{5} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 - 40 C}{5} \cdot 5 = 3 \cdot 5$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.5.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$7 - 40 C = 3 \cdot 5$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$7 - 40 C = 3 \cdot 5$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.5.3.1.1.2

Remettez dans l’ordre $7$ et $- 40 C$ .

$- 40 C + 7 = 3 \cdot 5$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$- 40 C + 7 = 3 \cdot 5$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$- 40 C + 7 = 3 \cdot 5$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.2.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$- 40 C + 7 = 15$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$- 40 C + 7 = 15$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$- 40 C + 7 = 15$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.5.4

Résolvez $C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.1.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$- 40 C = 15 - 7$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.5.4.1.2

Soustrayez $7$ de $15$ .

$- 40 C = 8$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$- 40 C = 8$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.5.4.2

Divisez chaque terme dans $- 40 C = 8$ par $- 40$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 40 C = 8$ par $- 40$ .

$\frac{- 40 C}{- 40} = \frac{8}{- 40}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.5.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 40$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 40 C}{- 40} = \frac{8}{- 40}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.5.4.2.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{8}{- 40}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$C = \frac{8}{- 40}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$C = \frac{8}{- 40}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.5.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.2.3.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $- 40$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.2.3.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$C = \frac{8 (1)}{- 40}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.5.4.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.2.3.1.2.1

Factorisez $8$ à partir de $- 40$ .

$C = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 5}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.5.4.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$C = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 5}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.5.4.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$C = \frac{1}{- 5}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$C = \frac{1}{- 5}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$C = \frac{1}{- 5}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.5.4.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$C = - \frac{1}{5}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$C = - \frac{1}{5}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$C = - \frac{1}{5}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$C = - \frac{1}{5}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

$C = - \frac{1}{5}$

$B = \frac{7}{15} - C$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.6

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $- \frac{1}{5}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $B = \frac{7}{15} - C$ par $- \frac{1}{5}$ .

$B = \frac{7}{15} - (- \frac{1}{5})$

$C = - \frac{1}{5}$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1

Simplifiez $\frac{7}{15} - (- \frac{1}{5})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1.1

Multipliez $- (- \frac{1}{5})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$B = \frac{7}{15} + 1 (\frac{1}{5})$

$C = - \frac{1}{5}$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.6.2.1.1.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$B = \frac{7}{15} + \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{5}$

$A = - \frac{7}{15}$

$B = \frac{7}{15} + \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{5}$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.6.2.1.2

Pour écrire $\frac{1}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$B = \frac{7}{15} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3}$

$C = - \frac{1}{5}$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.6.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$B = \frac{7}{15} + \frac{3}{5 \cdot 3}$

$C = - \frac{1}{5}$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.6.2.1.3.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$B = \frac{7}{15} + \frac{3}{15}$

$C = - \frac{1}{5}$

$A = - \frac{7}{15}$

$B = \frac{7}{15} + \frac{3}{15}$

$C = - \frac{1}{5}$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.6.2.1.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$B = \frac{7 + 3}{15}$

$C = - \frac{1}{5}$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.6.2.1.4.2

Additionnez $7$ et $3$ .

$B = \frac{10}{15}$

$C = - \frac{1}{5}$

$A = - \frac{7}{15}$

$B = \frac{10}{15}$

$C = - \frac{1}{5}$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.6.2.1.5

Annulez le facteur commun à $10$ et $15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1.5.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$B = \frac{5 (2)}{15}$

$C = - \frac{1}{5}$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.6.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1.5.2.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$B = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

$C = - \frac{1}{5}$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.6.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$B = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

$C = - \frac{1}{5}$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.6.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$B = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{5}$

$A = - \frac{7}{15}$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{5}$

$A = - \frac{7}{15}$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{5}$

$A = - \frac{7}{15}$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{5}$

$A = - \frac{7}{15}$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{5}$

$A = - \frac{7}{15}$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{5}$

$A = - \frac{7}{15}$

Étape 3.7

Indiquez toutes les solutions.

$B = \frac{2}{3}, C = - \frac{1}{5}, A = - \frac{7}{15}$

Étape 4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 5}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$- \frac{\frac{7}{15}}{x} + \frac{\frac{2}{3}}{x - 3} + \frac{- \frac{1}{5}}{x + 5}$