Algèbre Exemples

$[\begin{array}{c} a - x & b & c \\ 1 & - x & 0 \\ 0 & 1 & - x \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - x & 0 \\ 1 & - x \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(a - x) | \begin{array}{c} - x & 0 \\ 1 & - x \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & - x \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- b | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & - x \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - x \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$c | \begin{array}{c} 1 & - x \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$(a - x) | \begin{array}{c} - x & 0 \\ 1 & - x \end{array} | - b | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & - x \end{array} | + c | \begin{array}{c} 1 & - x \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 2

Évaluez $| \begin{array}{c} - x & 0 \\ 1 & - x \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(a - x) (- x (- x) - 1 \cdot 0) - b | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & - x \end{array} | + c | \begin{array}{c} 1 & - x \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(a - x) (- 1 \cdot - 1 x \cdot x - 1 \cdot 0) - b | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & - x \end{array} | + c | \begin{array}{c} 1 & - x \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.2.1

Déplacez $x$ .

$(a - x) (- 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - 1 \cdot 0) - b | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & - x \end{array} | + c | \begin{array}{c} 1 & - x \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(a - x) (- 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 0) - b | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & - x \end{array} | + c | \begin{array}{c} 1 & - x \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(a - x) (1 x^{2} - 1 \cdot 0) - b | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & - x \end{array} | + c | \begin{array}{c} 1 & - x \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 2.2.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$(a - x) (x^{2} - 1 \cdot 0) - b | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & - x \end{array} | + c | \begin{array}{c} 1 & - x \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 2.2.5

Soustrayez $0$ de $x^{2}$ .

$(a - x) x^{2} - b | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & - x \end{array} | + c | \begin{array}{c} 1 & - x \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & - x \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(a - x) x^{2} - b (1 (- x) + 0 \cdot 0) + c | \begin{array}{c} 1 & - x \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- x$ par $1$ .

$(a - x) x^{2} - b (- x + 0 \cdot 0) + c | \begin{array}{c} 1 & - x \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $0$ par $0$ .

$(a - x) x^{2} - b (- x + 0) + c | \begin{array}{c} 1 & - x \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Additionnez $- x$ et $0$ .

$(a - x) x^{2} - b (- x) + c | \begin{array}{c} 1 & - x \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - x \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(a - x) x^{2} - b (- x) + c (1 \cdot 1 + 0 (- x))$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$(a - x) x^{2} - b (- x) + c (1 + 0 (- x))$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $0 (- x)$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$(a - x) x^{2} - b (- x) + c (1 + 0 x)$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$(a - x) x^{2} - b (- x) + c (1 + 0)$

Étape 4.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$(a - x) x^{2} - b (- x) + c \cdot 1$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$a x^{2} - x \cdot x^{2} - b (- x) + c \cdot 1$

Étape 5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$a x^{2} - (x^{2} x) - b (- x) + c \cdot 1$

Étape 5.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$a x^{2} - (x^{2} x^{1}) - b (- x) + c \cdot 1$

Étape 5.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a x^{2} - x^{2 + 1} - b (- x) + c \cdot 1$

Étape 5.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$a x^{2} - x^{3} - b (- x) + c \cdot 1$

Étape 5.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a x^{2} - x^{3} - 1 \cdot - 1 b x + c \cdot 1$

Étape 5.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a x^{2} - x^{3} + 1 b x + c \cdot 1$

Étape 5.5

Multipliez $b$ par $1$ .

$a x^{2} - x^{3} + b x + c \cdot 1$

Étape 5.6

Multipliez $c$ par $1$ .

$a x^{2} - x^{3} + b x + c$