Algèbre Exemples

$[\begin{array}{c} 0 & x & x \\ x & x^{2} & 5 \\ x & 4 & - 3 \end{array}]$

Étape 1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments $0$ . S’il n’y a aucun élément $0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne $1$ par son cofacteur et ajoutez.

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Étape 1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 1.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} x^{2} & 5 \\ 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$0 | \begin{array}{c} x^{2} & 5 \\ 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} x & 5 \\ x & - 3 \end{array} |$

Étape 1.6

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$- x | \begin{array}{c} x & 5 \\ x & - 3 \end{array} |$

Étape 1.7

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Étape 1.8

Multipliez l’élément $a_{13}$ par son cofacteur.

$x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Étape 1.9

Additionnez les termes entre eux.

$0 | \begin{array}{c} x^{2} & 5 \\ 4 & - 3 \end{array} | - x | \begin{array}{c} x & 5 \\ x & - 3 \end{array} | + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Étape 2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} x^{2} & 5 \\ 4 & - 3 \end{array} |$ .

$0 - x | \begin{array}{c} x & 5 \\ x & - 3 \end{array} | + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} x & 5 \\ x & - 3 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 - x (x \cdot - 3 - x \cdot 5) + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$0 - x (- 3 \cdot x - x \cdot 5) + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$0 - x (- 3 x - 5 x) + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Soustrayez $5 x$ de $- 3 x$ .

$0 - x (- 8 x) + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 - x (- 8 x) + x (x \cdot 4 - x \cdot x^{2})$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$0 - x (- 8 x) + x (4 \cdot x - x \cdot x^{2})$

Étape 4.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$0 - x (- 8 x) + x (4 x - (x^{2} x))$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$0 - x (- 8 x) + x (4 x - (x^{2} x^{1}))$

Étape 4.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 - x (- 8 x) + x (4 x - x^{2 + 1})$

Étape 4.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$0 - x (- 8 x) + x (4 x - x^{3})$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Soustrayez $x (- 8 x)$ de $0$ .

$- x (- 8 x) + x (4 x - x^{3})$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 1 \cdot - 8 x \cdot x + x (4 x - x^{3})$

Étape 5.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1

Déplacez $x$ .

$- 1 \cdot - 8 (x \cdot x) + x (4 x - x^{3})$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 1 \cdot - 8 x^{2} + x (4 x - x^{3})$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$8 x^{2} + x (4 x - x^{3})$

Étape 5.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$8 x^{2} + x (4 x) + x (- x^{3})$

Étape 5.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x^{2} + 4 x \cdot x + x (- x^{3})$

Étape 5.2.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x^{2} + 4 x \cdot x - x \cdot x^{3}$

Étape 5.2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.7.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.7.1.1

Déplacez $x$ .

$8 x^{2} + 4 (x \cdot x) - x \cdot x^{3}$

Étape 5.2.7.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$8 x^{2} + 4 x^{2} - x \cdot x^{3}$

Étape 5.2.7.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.7.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$8 x^{2} + 4 x^{2} - (x^{3} x)$

Étape 5.2.7.2.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 5.2.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$8 x^{2} + 4 x^{2} - (x^{3} x^{1})$

Étape 5.2.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 x^{2} + 4 x^{2} - x^{3 + 1}$

Étape 5.2.7.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$8 x^{2} + 4 x^{2} - x^{4}$

Étape 5.3

Additionnez $8 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} - x^{4}$