Algèbre Exemples

$h (x) = - \frac{1}{64} x^{2} + \frac{13}{32} x + 2$

Étape 1

Écrivez $h (x) = - \frac{1}{64} x^{2} + \frac{13}{32} x + 2$ comme une équation.

$y = - \frac{1}{64} x^{2} + \frac{13}{32} x + 2$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{64}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{64} + \frac{13}{32} x + 2$

Étape 2.2

Associez $\frac{13}{32}$ et $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{64} + \frac{13 x}{32} + 2$

Étape 3

Complétez le carré pour $- \frac{x^{2}}{64} + \frac{13 x}{32} + 2$ .

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Étape 3.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{64}$

$b = \frac{13}{32}$

$c = 2$

Étape 3.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{13}{32}}{2 (- \frac{1}{64})}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{13}{32} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{64})}$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{13}{32} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{64})}$

Étape 3.3.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = \frac{13}{32} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{64})})$

Étape 3.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{64}$ .

$d = \frac{13}{32} (- \frac{1}{\frac{2}{64}})$

Étape 3.3.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $64$ .

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Étape 3.3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{13}{32} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{64}})$

Étape 3.3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$d = \frac{13}{32} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 32}})$

Étape 3.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{13}{32} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 32}})$

Étape 3.3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{13}{32} (- \frac{1}{\frac{1}{32}})$

Étape 3.3.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{13}{32} (- (1 \cdot 32))$

Étape 3.3.2.6

Annulez le facteur commun de $32$ .

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Étape 3.3.2.6.1

Factorisez $32$ à partir de $- (1 \cdot 32)$ .

$d = \frac{13}{32} (32 (- 1 \cdot (1)))$

Étape 3.3.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{13}{32} (32 (- 1 \cdot (1)))$

Étape 3.3.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$d = 13 (- 1 \cdot (1))$

Étape 3.3.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$d = 13 \cdot - 1$

Étape 3.3.2.8

Multipliez $13$ par $- 1$ .

$d = - 13$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 2 - \frac{{(\frac{13}{32})}^{2}}{4 (- \frac{1}{64})}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{13}{32}$ .

$e = 2 - \frac{\frac{13^{2}}{32^{2}}}{4 (- \frac{1}{64})}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$e = 2 - \frac{\frac{169}{32^{2}}}{4 (- \frac{1}{64})}$

Étape 3.4.2.1.1.3

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$e = 2 - \frac{\frac{169}{1024}}{4 (- \frac{1}{64})}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 2 - \frac{\frac{169}{1024}}{- 4 (\frac{1}{64})}$

Étape 3.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{64}$ .

$e = 2 - \frac{\frac{169}{1024}}{\frac{- 4}{64}}$

Étape 3.4.2.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $64$ .

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Étape 3.4.2.1.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$e = 2 - \frac{\frac{169}{1024}}{\frac{4 (- 1)}{64}}$

Étape 3.4.2.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$e = 2 - \frac{\frac{169}{1024}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 16}}$

Étape 3.4.2.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = 2 - \frac{\frac{169}{1024}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 16}}$

Étape 3.4.2.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = 2 - \frac{\frac{169}{1024}}{\frac{- 1}{16}}$

Étape 3.4.2.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = 2 - \frac{\frac{169}{1024}}{- \frac{1}{16}}$

Étape 3.4.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 2 - (\frac{169}{1024} (- 1 \cdot 16))$

Étape 3.4.2.1.5

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 3.4.2.1.5.1

Factorisez $16$ à partir de $1024$ .

$e = 2 - (\frac{169}{16 (64)} (- 1 \cdot 16))$

Étape 3.4.2.1.5.2

Factorisez $16$ à partir de $- 1 \cdot 16$ .

$e = 2 - (\frac{169}{16 (64)} (16 \cdot - 1))$

Étape 3.4.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$e = 2 - (\frac{169}{16 \cdot 64} (16 \cdot - 1))$

Étape 3.4.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$e = 2 - (\frac{169}{64} \cdot - 1)$

Étape 3.4.2.1.6

Associez $\frac{169}{64}$ et $- 1$ .

$e = 2 - \frac{169 \cdot - 1}{64}$

Étape 3.4.2.1.7

Multipliez $169$ par $- 1$ .

$e = 2 - \frac{- 169}{64}$

Étape 3.4.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = 2 - - \frac{169}{64}$

Étape 3.4.2.1.9

Multipliez $- - \frac{169}{64}$ .

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Étape 3.4.2.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = 2 + 1 (\frac{169}{64})$

Étape 3.4.2.1.9.2

Multipliez $\frac{169}{64}$ par $1$ .

$e = 2 + \frac{169}{64}$

Étape 3.4.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{64}{64}$ .

$e = 2 \cdot \frac{64}{64} + \frac{169}{64}$

Étape 3.4.2.3

Associez $2$ et $\frac{64}{64}$ .

$e = \frac{2 \cdot 64}{64} + \frac{169}{64}$

Étape 3.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{2 \cdot 64 + 169}{64}$

Étape 3.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.2.5.1

Multipliez $2$ par $64$ .

$e = \frac{128 + 169}{64}$

Étape 3.4.2.5.2

Additionnez $128$ et $169$ .

$e = \frac{297}{64}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{64} {(x - 13)}^{2} + \frac{297}{64}$ .

$- \frac{1}{64} {(x - 13)}^{2} + \frac{297}{64}$

Étape 4

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{64} \cdot {(x - 13)}^{2} + \frac{297}{64}$